Atelier n°2 du jeudi 24 août 2006 «Les premiers pas de la vaccination …»








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Actes de l'Université d'été de Saint-Flour

La pluridisciplinarité dans les enseignements scientifiques à partir des thèmes de convergence


Atelier n°2 du jeudi 24 août 2006

« Les premiers pas de la vaccination … »

Présentation des travaux de D. Bernoulli sur l’épidémie de la petite vérole.

Perspectives en Terminale S et en classe de 3ème
Animateurs : Annette LEROY et Frédéric LIBOUREL, Académie Orléans Tours
La variole, ou « petite vérole », est une maladie virale remarquable à plusieurs titres.

En tout premier lieu, elle a joué un rôle déterminant dans l’histoire de la vaccination et c’est pour son étude que les Mathématiques sont intervenues pour la première fois dans un problème épidémiologique.
Le présent atelier tente, à travers l’histoire de la variole, d’appréhender la convergence des Mathématiques et des Sciences de la Vie et de la Terre à partir des travaux de Daniel Bernoulli (1760).
Ce travail se place dans le cadre des programmes de Mathématiques et des Sciences de la Vie et de la Terre de terminale S. Des pistes de réflexion pour une application en classe de 3ème seront abordées en fin d’atelier par le biais des statistiques.
Cette étude se déroulera en deux temps :

  • Une première approche permettra d’appréhender le contexte historique de l’épidémie de la variole et de son importance pour la découverte du principe de la vaccination.

  • Dans un deuxième temps, on présentera les travaux de Daniel Bernoulli (*) concernant la modélisation de l’épidémie de la « petite vérole » à l’aide d’une équation différentielle. On dira également quelques mots du débat philosophique qui s’en suivit.


(*) Daniel Bernoulli, 1760 : « Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de l’inoculation pour la prévenir »
I.  «Les premiers pas de la vaccination … »


A. La variole ou petite vérole : historique
Connue dans la Chine ancienne où elle aurait été introduite en l'an 49 de notre ère, il est admis que la variole fut introduite en Europe par les invasions arabes, à la suite de l'épidémie de la Mecque en 572.

Le fléau s'est ensuite répandu dans le monde entier, causant, au cours des siècles, d'effroyables pandémies responsables de millions de morts.
B. La variole : le virus
Le virus fait partie des pox-virus qui causent en particulier la variole et la vaccine qui a permis la création des premiers vaccins et qui atteint plusieurs espèces animales (vache, singe…)
C. La variole : mécanisme
Il s'agit d'une maladie exclusivement inter-humaine ; il n'y a aucun réservoir de virus animal. La porte d'entrée est usuellement les voies respiratoires. La maladie, si elle ne tue pas le patient, est immunisante : toute réinfection par le même virus est impossible pendant des années.
D. La variole : description
L'éruption est précédée par une fièvre durant quelques jours, avec frissons, maux de tête, nausées…

L'éruption est caractérisée par l'apparition de taches rouges sur la peau, devenant des vésicules, puis des pustules avant de former une croûte.

La variole était un fléau redoutable et redouté. Quand elle ne tuait pas, elle laissait souvent un visage grêlé, défiguré à vie. Elle est toujours restée hors de portée d’un traitement efficace.


  1. La lutte contre la variole


Dès le XIe siècle, les chinois pratiquaient la variolisation : il s'agissait d'inoculer une forme qu'on espérait peu virulente de la maladie en mettant en contact la personne à immuniser avec le contenu de la substance suppurant des vésicules d'un malade.

La technique est importée en occident au début du XVIIIe siècle.

Elle est introduite en France par le docteur Théodore Tronchin en 1756. Mais cette technique est très controversée.

En 1760, Daniel Bernoulli va modéliser l’épidémie de la petite vérole.

F. la vaccination de Jenner
Lui-même très favorable à la variolisation, le médecin britannique Edward Jenner entend parler d'une croyance populaire selon laquelle attraper la variole des vaches (cow pox) préserverait de la forme humaine.

Le 14 mai 1796, il inocula à un enfant du pus prélevé sur la main d'une fermière infectée par la vaccine (via le contact avec les pis de la vache, infestée par le cow pox), ou variole des vaches. Trois mois plus tard, il inocula la variole à l'enfant qui s'est révélé immunisé.
G. La vaccination anti-variolique moderne

Cette pratique s'est répandue progressivement dans toute l'Europe. La vaccination antivariolique fut rendue obligatoire en France en 1902.
H. Eradication de la variole
La campagne mondiale d'éradication, lancée en 1967 et terminée en 1977 avec le dernier cas spontané observé en Somalie.
II. Modélisation de la petite vérole par Daniel BERNOULLI (1700-1782)
Le 30 avril 1760, dans un mémoire de l’Académie des Sciences de Paris, Daniel Bernoulli propose une modélisation d’une épidémie de variole (appelée à l’époque « petite vérole ») pour tenter de savoir si l’inoculation de la maladie présente plus d’avantages que de risques pour la population sujette à cette épidémie. À cette époque, les vaccins n’existent pas. La technique d’inoculation est très controversée et la maladie fait des ravages. Selon le géophysicien Charles de la Condamine (1701-1774), « elle détruit, mutile ou défigure plus d’un quart de l’humanité ».
L’objectif de Bernoulli est d’« exposer dans une même table les deux états de l’humanité, l’un tel qu’il est effectivement, et l’autre tel qu’il serait si on pouvait affranchir de la petite vérole tout le genre humain. … Le parallèle de ces deux états en expliquerait mieux la différence et le contraste, que ne ferait le plus ample commentaire. »

Bernoulli dispose d’une table de mortalité d’une population de 1300 personnes de la naissance à l’âge de 24 ans. Il connaît donc le nombre de survivants de cette population, année par année, et il se propose de calculer, pour chaque année, le nombre de survivants de la population considérée dans un état exempt de la variole.

A. Hypothèses retenues par Daniel Bernoulli


  1. « Quant au risque annuel d’être attaqué par la petite vérole, pour ceux qui ne l’ont pas eue, j’ai cru ne pouvoir satisfaire aux notions générales que nous avons sur cette maladie, qu’en la supposant d’un huitième, ce rapport de 1 sur 8 étant supposé constant ».

  2. «  Disons encore un mot sur le risque de la petite vérole pour ceux qui en sont attaqués : la plupart l’ont fait d’un septième ; je l’ai un peu diminué, en le faisant d’un huitième ».

  3. «Le risque de mourir par une autre cause que la petite vérole est le même que l’on ait la petite vérole ou non ».


B. Mise en équation et résolution (adaptées à des élèves de terminale S)
La variable t représente l’âge des individus en années. On désigne par le nombre de survivants de cette population à l’année t. Parmi ces survivants, il y a ceux qui sont immunisés (c’est-à-dire ceux qui ont contracté la variole et n’en sont pas morts) et les autres qui ne sont pas immunisés (c’est-à-dire les survivants n’ayant pas encore contracté la variole et qui sont donc susceptibles de l’attraper). On désigne par le nombre de survivants non immunisés à l’âge t. Enfin, représente le taux annuel de décès par d’autres causes que la variole au sein des deux populations (immunisés et non immunisés).
Les hypothèses de Bernoulli sur les variations annuelles permettent d’écrire le système suivant : pour tout , , où a et b sont des constantes que Bernoulli suppose égales à .
En effet, entre les dates t et :

  • parmi les survivants non immunisés à l’âge t, personnes contractent la variole et personnes meurent par d’autres causes.

  • parmi les survivants à l’âge t, personnes meurent de la variole qu’ils viennent de contracter et personnes meurent par d’autres causes.


En fractionnant l’année et en considérant des petits accroissements du temps, on obtient :

, d’où .

On élimine  : .

On fait tendre vers 0. Sous l’hypothèse que les fonctions et N soient dérivables, on aboutit alors à l’équation différentielle :

avec et .

Le premier membre incite à introduire la fonction , et un calcul simple montre que cette fonction est solution de l’équation différentielle (équation différentielle au programme de Term S).

On a de plus . La résolution de l’équation différentielle donne : pour tout , . Avec les valeurs retenues pour a et b , on aboutit finalement à :

pour tout , .

C. Première table de Bernoulli

Bernoulli dispose des valeurs de données dans une table de mortalité due à Edward HALLEY (1693).

Il construit alors la table suivante.


Colonne 1

l’année : t .



Colonne 2 

les survivants : (table de Halley).

Colonne 3 

les survivants non immunisés : .

Colonne 4 

les survivants immunisés : .

Colonne 5 

ceux qui prennent la variole chaque année : .

il semble que, pour tenir compte des petites variations qui arrivent dans le cours d’une même année, Bernoulli prenne une moyenne : avec .

Colonne 6 

morts par la variole chaque année : avec .

Colonne 7 

cumul des morts par la variole.

Colonne 8 

autres morts chaque année : .

Bernoulli ne poursuit pas ses calculs au-delà de la 24ème année car « au-delà de cet âge, l’effet de la petite vérole ne peut plus être considérable relativement à toute l’humanité ».

D. Validation du modèle 
Il semble raisonnable d’estimer que sur les 32 personnes qui à l’âge de 24 ans n’auront pas eu la petite vérole, il y en aura tout au plus 3 qui mourront de cette maladie. En ajoutant ces trois morts aux 98 décès prévus, on obtient une centaine de morts par la variole pour les 1300 personnes d’une même génération, ce qui est en parfait accord avec les hypothèses retenues. Ceci montre la pertinence du modèle « …entièrement conforme à l’observation la mieux constatée, qui est que la petite vérole enlève la treizième partie du total des morts … »
E. Calcul de la population dans un état exempt de variole
Les calculs précédents permettent à Bernoulli d’estimer quelle serait la population à l’année t si personne ne mourait de la variole. Suivons les premières étapes du calcul.

  • Année 1 :

Sur 1300 personnes, 17,1 meurent de la variole donc

  • Année 2 :

Sur 1000 personnes, il y a 133 décès autres que varioliques, soit pour une population de 1017,1 personnes donc .

Ainsi de suite, en utilisant la règle de trois … Bernoulli obtient alors la table II.


On peut demander aux élèves de reconstruire sur tableur les deux tables obtenues par Bernoulli à partir des données de Halley ( en fonction de t). Pour le calcul de , décrit précédemment et fait de proche en proche par Bernoulli, ils peuvent utiliser la formule récurrente suivante, après l’avoir justifiée et sachant que .

pour tout entier , .


  1. Interprétation de la table II


Bernoulli s’intéresse en particulier au rapport de la population des « vivants à l’état naturel et variolique » sur la population des « vivants dans l’état exempt de la variole ». Ce rapport est environ égal à .

« Si Paris fournissait par an 7000 personnes âgées de 20 ans, elle pourrait en fournir 8000 sans la petite vérole… 

A l’âge de 16 ans, la proportion pour les deux états est de 622 à 700, à cet âge on commence à devenir utile à l’état ...

Si la « naissance civile » est de 175000 pour la France, elle passerait, sans la mortalité causée par la petite vérole , à 200000, si bien que la France gagnerait 25000 personnes par an, toutes utiles à l’état et à la société… ».
Mais le cas de figure considéré était (à l’époque) bien sûr théorique ! En effet, des inoculés mouraient : 1 sur 600 à Londres en 1755. Et c’est sur ce nombre de décès que se fondaient les opposés à l’inoculation. Bernoulli poursuivit donc son étude en calculant ce qui se passerait si on avait une chance sur 200 de mourir de la variole après avoir été inoculé. Il estimait d’après les tables démographiques que ce rapport était un maximum. Il conclut que « la vie moyenne » pour chaque nouveau-né passerait de 26 ans et 7 mois à 29 ans et 7 mois si tout le monde était inoculé. Son étude lui permit de prendre parti pour l’inoculation préventive comme mesure salutaire de prophylaxie collective en dépit du risque individuel que cette mesure comportait. Un long débat mathématique et philosophique, auquel Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783) prit une part active, s’en suivit. C’est l’aspect statistique lui-même qui posait problème à D’Alembert, ce dernier estimant que le calcul du risque n’a pas le même sens vu dans la masse et vu par une mère et son enfant.
Quelques références :
En mathématiques

  • L’épreuve sur dossier à l’oral du CAPES de mathématiques : Tome II . Analyse. Thierry LAMBRE. Ellipses. 98

  • Patrimoine littéraire européen : http://www.fyma.ucl.ac.be/files/Euler-Bernoulli.pdf

  • Une traduction anglaise du mémoire de Daniel Bernoulli : http://www.semel.ucla.edu/biomedicalmodeling/pdf/Bernoulli&Blower.pdf

  • Terracher Term S - Hachette - 2002 - exercice n°45 page 172.

  • « Modélisation des épidémies » - Groupe Modélisation de l’IREM de Paris 7.


En Sciences de la Vie et de la Terre

  • Premiers vaccins, premières réticences. Anne-Marie Moulin - Pour la science N°264 - 1999

  • La naissance des mathématiques sociales. P. Crépel – Dossier Pour la science N°24 - 1999

  • La Variole. Jean-François Saluzzo - PUF - collection Que sais-je ? - N°3690 - année 2004

  • La Vaccination. Claude Hannoun - PUF - collection Que sais-je ? - N°1618 - année 1999

  • Les Virus. PUF - collection Que sais-je ?

  • L’aventure de la vaccination. Anne-Marie Moulin - Fayard - année 1996

  • Immunologie. Revillard - 3ème édition – De Boeck Université

  • http://www.chups.jussieu.fr/viro/

  • http://www.sanofipasteur.fr/

  • http://hassanrostom.free.fr/acceuil.htm

  • http://fr.wikipedia.org/wiki/Variole

  • http://www.medarus.org/index.html

  • http://www.voltaire-integral.com/Html/22/11_Lettres_philo.html

  • www.vacciweb.be


Pistes de réflexion pour des activités envisageables dans le cadre des thèmes de convergences sur le thème de la santé en Mathématiques et Sciences de la Vie et de la Terre

Au lycée, en terminale S


  • En mathématiques : modélisation, équation différentielle, tableur




  • En SVT : mémoire immunitaire, vaccin, histoire de la vaccination…


Autres pistes sur le thème de la santé :
  • Statistiques en médecine : intuition et calcul (http://pst.chez-alice.fr)


-Dépistage d’une maladie à l’aide d’un test

-Calcul du risque à partir d’une prévalence dans la population générale

-Utilisation de l’ADN en criminologie

-Diagnostic génétique
Au collège, une idée en classe de 3ème


  • En mathématiques : Créer une enquête statistique sur la varicelle






Considérant un effectif total de 60


  • En SVT : mémoire immunitaire, vaccin, …




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