Chaos originel et la théorie du Chaos








télécharger 91.17 Kb.
titreChaos originel et la théorie du Chaos
page1/2
date de publication22.01.2018
taille91.17 Kb.
typeDocumentos
b.21-bal.com > droit > Documentos
  1   2
Le chaos en quelques mots …



  1. Chaos originel et la théorie du Chaos




    1. Le Chaos originel


Dans la théorie de la création du monde établie par les Grecs anciens, c’est un gouffre sombre et silencieux ayant préexisté à toute forme de vie.
Selon la Théogonie d’Hésiode, « au début vint le Chaos ». Chaos, sorti du néant, qui est le tout premier principe ayant existé. Bien que formant un vide béant et infini, il donne naissance à la Nuit noire, ou Nyx, et à l'Érèbe, région insondable et obscure des Enfers. Ces deux enfants de l'obscurité première s'unissent ensuite pour créer l’Éther et le Jour.
Tout comme Chaos, Gaia et Éros apparaissent par la suite de manière spontanée. Ils forment ensemble les trois éléments primitifs du monde en création. Il est à noter que bien que certains récits présentent Chaos comme une sorte de masse confuse, tous s’accordent pour voir en lui la première force ayant investi l’Univers. Les anciens Grecs semblent avoir accepté l’idée que le Chaos précède l’ordre ; en d’autres termes que l’ordre naît du désordre.
Ainsi, d’après la Bible :
« En arrachant les choses au chaos originel, le Créateur a

assigné à chacune d'elles sa place en un monde ordonné. »

De même, les Chinois des temps anciens reconnaissaient que le Chaos et l’ordre étaient liés. Dans les mythes Chinois, le dragon représente le principe de l’ordre, le Yang qui émerge du Chaos. Dans certaines histoires chinoises de la création, un rayon de lumière pure, le Yin, émerge du Chaos et construit le ciel. Le Yin et le Yang agissent ainsi pour créer l’Univers. Mais même sortis du Chaos, le Yin et le Yang conservent leurs qualités. L’excès de l’un des deux ramène le Chaos.
Le chaos défini ainsi semble être synonyme de désordre, d’absence de structures organisées.


    1. Etymologie du mot chaos


Du grec Khaos (χάος) : on retrouve trace de ce mot en 1377 dans les écrits de Chr. de Pisan (Chemin de long estude) qui définit le chaos comme un
« état de confusion des éléments ayant précédé l'organisation du monde »
Au XVIème siècle Desportes, le décrit dans ses Elegies comme
« toute sorte de confusion, de désordre »
Le chimiste et médecin hollandais Van Helmont, qui a vécu de 1577 à 1644 (au temps de Galilée) a créé le mot « gaz » sur le mot grec « khaos ». Après avoir découvert que l’air est composé de deux parties dont l’une contribue à la combustion et se consume elle-même alors que l’autre ne possède pas ces propriétés.
« J’ai donné à cette vapeur le nom de gaz, parce qu’elle

ne se distingue presque pas du chaos des Anciens »
Loin de ces considérations mythologiques la théorie du Chaos a vu le jour dans les travaux d’Henri Poincaré à la fin du XIXe siècle et c’est dans les années soixante qu’elle fut redécouverte après la publication d’un article qui allait révolutionner le monde des sciences.


  1. La théorie du Chaos




    1. Systèmes dynamiques conservatifs / dissipatifs


Un système dynamique est la représentation mathématique d’un phénomène observé (naturel ou artificiel) en terme d’équations différentielles décrivant son évolution temporelle.
Les systèmes peuvent être soit conservatifs soit dissipatifs. Dans le premier cas l’énergie totale du système se conserve mais pas dans le second.


    1. Systèmes dynamiques intégrables / non-intégrables



Les équations différentielles sont des équations mathématiques comportant une ou plusieurs variables, i.e., une ou plusieurs inconnues qu’il faut déterminer pour résoudre le système, i.e., intégrer l’équation différentielle et par conséquent intégrer le système dynamique. Il y a donc des systèmes dynamiques intégrables et d’autres non-intégrables. Il en va de même pour les équations algébriques.

Une équation algébrique est la représentation analytique de l’équation d’une courbe. Résoudre une telle équation c’est chercher les points d’intersection de cette courbe avec l’axe horizontal dans un repère cartésien.
Par exemple, résoudre l’équation algébrique c’est déterminer le point d’intersection de cette droite avec l’axe horizontal soit la valeur de .
Cependant, au début du XIXème siècle le jeune Evariste Galois démontra que les équations algébriques de degré supérieur ou égal à 5 ne possèdent pas de solutions analytiques.
On serait tenter de croire qu’à toute courbe correspond une équation analytique et qu’à toute équation analytique correspond une courbe. Malheureusement ce n’est pas le cas et il existe des « courbes définies par des équations différentielles » comme le démontra Henri Poincaré en 1881. C’est-à-dire des courbes dont ne peut expliciter l’équation mais qui sont solutions d’une équation différentielle.
Ainsi, les solutions, i.e., les intégrales de systèmes dynamiques sont des courbes.
Si le système dynamique est intégrable et sa solution est une courbe (cercle, ellipse, spirale, …) dont on peut expliciter l’équation analytique.
Si il est non-intégrable sa solution est toujours une courbe mais on ne peut pas (et on ne pourra peut-être jamais) en fournir l’équation.
Cette courbe représente l’évolution temporelle du phénomène sous la forme d’un diagramme dénommé par Poincaré portrait en phase et dans lequel il considère les variables, i.e., les deux coordonnées x et y comme celle d’un point mobile. Ainsi, à toute valeur de x on peut faire correspondre une valeur y et inversement. De plus, n’importe quelle condition de départ, i.e., n’importe quelle condition initiale permet de déterminer les positions futures des coordonnées, i.e., les valeurs des variables.


    • Le pendule non-amorti

    • Le modèle de Vito Volterra



A quelle condition un système dynamique est-il non-intégrable ?
Le pendule non-amorti qui a servi de premier exemple ne s’arrête jamais.

C’est-à-dire qu’il s’agit en quelque sorte d’un mouvement perpétuel.

Ceci simplement par ce que, par hypothèse, on a choisi arbitrairement de négliger la résistance de l’air sur la bille et sur le fil ainsi que sur l’axe de rotation. Dans le cas du pendule amorti plus réaliste il a été tenu compte de ces frottements, c’est la raison pour laquelle le pendule s’arrête. Le problème est que les frottements, comme beaucoup d’autres phénomènes, ne s’expriment pas de façon linéaire mais en terme de fonctions non-linéaires.
Par exemple, si la taille des individus augmentait de trois centimètres par an, les octogénaires pourraient changer les ampoules sans monter sur une échelle. Naturellement l’évolution de la taille des individus n’est pas une fonction linéaire de leur âge, le poids non plus, …
L’introduction de cette non-linéarité dans le cas du pendule n’a pas rendu le système non-intégrable mais seulement beaucoup plus difficilement intégrable. C’est d’ailleurs la raison pour laquelle Galiléo Galiléï avait été amené à négliger ces frottements pour pouvoir déduire sa célèbre loi sur l’isochronisme du pendule.
Dans le cas du modèle de Vito Volterra la non-linéarité qui est déjà présente puisqu’elle exprime la prédation des thons sur les sardines rend le système dynamique non-intégrable. De plus cette non-linéarité possède la caractéristique de former une boucle de rétroaction. En effet, lorsque la population de thons augmente trop, celle des sardines diminue et en conséquence la population de thons diminue à son tour.
Ainsi, plus on cherche à améliorer le degré de réalisme d’un modèle plus on fait augmenter sa complexité au point de le rendre parfois non-intégrable.


    1. Intégrabilité & Déterminisme


Dans ces exemples on a pu constater qu’en « suivant » la courbe solution du système dynamique, i.e., l’intégrale on a pu, à partir d’une condition initiale déterminer l’évolution future du pendule ou celle des sardines (resp. thons). Cette capacité à « prédire » le futur d’un phénomène à partir d’un évènement passé ou présent constitue le déterminisme scientifique.
Un système dynamique déterministe est un système prédictible.
« Une intelligence qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l'analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l'univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir, comme le passé, serait présent à ses yeux. »
Cette conception déterministe du marquis Pierre Simon de Laplace (1749-1827) implique que tout le futur est contenu, déterminé par le présent, et que, connaissant les lois du mouvement et les conditions initiales, on peut déterminer avec certitude tout mouvement futur. Il écrivait encore :
« Nous devons envisager l'état présent de l'univers comme l'effet de son état antérieur et comme cause de celui qui va suivre. »
On appelle parfois « démon de Laplace » cette hypothétique conscience qui, ayant une parfaite connaissance de tous les éléments et de toutes les relations d'un système, connaîtrait aussi bien le passé que le futur…
On peut multiplier les exemples à l’infini. Celui du joueur de rugby qui « tape un coup de pied à suivre » est très intéressant. En observant pendant un court instant la trajectoire du ballon, le joueur « détermine » le lieu précis où le ballon va tomber, i.e., par expérience, il analyse deux instants passé et présent du ballon et il en déduit le point d’impact futur du ballon vers lequel il se dirige.
Dans tous ces exemples la « prédiction » n’est possible que parce que les systèmes dynamiques considérés sont déterministes.
Ainsi, tout système dynamique intégrable est déterministe.

C’est le cas de l’exemple du pendule dont le système dynamique présente les deux caractéristiques d’être à la fois déterministe et intégrable.
Alors qu’un système dynamique non-intégrable peut être ou ne pas être déterministe. C’est le cas du modèle de Vito Volterra qui est non-intégrable mais néanmoins déterministe.
Inversement tout système dynamique déterministe est-il intégrable ?


    1. A l’origine de la Théorie du Chaos


A la fin du XIXème siècle le mathématicien français Henri Poincaré s’est illustré en remportant le prix du roi Oscar de Suède et de Norvège en 1889 pour « une merveilleuse étude de la stabilité du système solaire », i.e., sur le « problème des trois corps. » Cette étude constitue l’esquisse d’une grande partie de la nouvelle mathématique qu’il créa au fil des ans à travers des ouvrages qui sont considérés aujourd’hui comme des références : « Les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste » trois volumes parus entre 1892 et 1899, et annonce les recherches modernes sur la théorie des systèmes dynamiques et celle du Chaos.
Considérons la Terre gravitant autour du Soleil. La trajectoire qui dans ce cas s’appelle orbite a été parfaitement et précisément décrite par les équations de la mécanique élaborées par Isaac Newton (1642-1727). Supposons maintenant que l’on veuille tenir compte de l’influence de l’attraction de la Lune sur la trajectoire de la Terre dans son mouvement autour du Soleil, par exemple.
Peut-on toujours décrire avec précision et sur le long terme le mouvement de la Terre autour du Soleil en tenant compte de la perturbation que produit l’attraction de la Lune ?
La réponse à cette question qui fut l’objet des travaux de recherche de Poincaré et qui lui ont valu le prix du roi Oscar est non.
Plusieurs remarques :
Tout d’abord ce système dynamique qui est conçu à partir des équations d’évolution déterministes du mouvement des planètes énoncées par Newton est cependant non-intégrable.
Ainsi, tout système déterministe n’est pas intégrable.
De plus ce système implique trois variables : la Terre, le Soleil et la Lune.

Enfin, Poincaré a démontré dans son étude que toute prédiction à long terme est impossible, i.e., que l’évolution de la trajectoire de la Terre à long terme est imprédictible, ou encore que le système Terre-Lune n’est pas en mouvement perpétuel comme le croyaient les Anciens.

    1. Conditions d’obtention du chaos


En 1971, les mathématiciens David Ruelle et Floris Takens établirent dans un article intitulé : « De la nature de la turbulence » qu’un système agité par des forces où seules existent trois fréquences indépendantes, peut se déstabiliser, ses mouvements devenant alors totalement irréguliers et erratiques.
En d’autres termes cela signifie qu’une condition nécessaire (mais pas suffisante) à l’obtention d’un tel comportement est la présence d’au moins trois variables. C’est bien le cas dans le « problème des trois corps » étudié par Poincaré.
Ainsi, un système dynamique conçu à partir d’équations déterministes, non-intégrable et ayant au moins trois variables comprenant des termes non-linéaires peut présenter un comportement, instable, irrégulier et erratique rendant impossible toute prédiction sur son évolution future. Un tel système est qualifié de « chaotique ».
Le Chaos est conventionnellement défini par un comportement lié à l’instabilité et la non-linéarité (produite par des rétroactions) dans les systèmes dynamiques déterministes non-intégrables. La relation entre l’instabilité et la chaoticité est alors que le système manifeste une très haute sensibilité aux changements de conditions initiales. C’est ce qu’affirmait déjà Poincaré dans le chapitre sur le Hasard de son ouvrage intitulé Science et Méthode publié en 1908 :
« Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. (...). Il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux. Une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers.

La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. »
Prenons un système physique dont l'évolution temporelle est décrite par des équations déterministes. Si l'on connaît l'état du système à un instant initial, d'ailleurs arbitraire, on peut calculer son état à tout autre instant. Il n'y a aucune incertitude, aucun hasard. Mais nous avons supposé implicitement que nous connaissions l'état initial avec une totale précision. En fait, nous ne pouvons mesurer l'état initial qu'avec une précision limitée (et d'ailleurs les équations déterministes que nous utilisons ne représentent qu'approximativement l'évolution réelle du système physique qui nous occupe). Il faut donc voir comment une petite imprécision dans notre connaissance de l'état initial au temps 0 (zéro) va affecter nos prédictions sur un état ultérieur, au temps t.

On s'attend à ce qu'une incertitude suffisamment petite au temps 0 donne lieu à une incertitude petite au temps t. Mais la question cruciale est de savoir comment cette incertitude va dépendre du temps t. Il se trouve que pour beaucoup de systèmes, dits chaotiques, l'incertitude (ou erreur probable) va croître rapidement, en fait exponentiellement avec le temps t. Cela veut dire que si l'on peut choisir un laps de temps T au bout duquel l'erreur est multipliée par 2, au temps 2T elle sera multipliée par 4, au temps 3T par 8, et ainsi de suite. Au temps 10T le facteur est 1024, au temps 20T plus d'un million, au temps 30T plus d'un milliard … et tôt ou tard l'incertitude de notre prédiction cesse d'être petite pour devenir inacceptable. Le phénomène de croissance rapide des erreurs de prédiction, que l'on appelle Chaos, introduit donc du hasard dans la description d'un système physique, même si ce système correspond à des équations d'évolution parfaitement déterministes comme celles de la dynamique du mouvement des astres.
La théorie du Chaos étudie donc en détail comment une petite incertitude sur l'état initial d'une évolution temporelle déterministe peut donner lieu à une incertitude des prédictions qui croît rapidement avec le temps.
Cette caractéristique s’appelle la dépendance sensitive des conditions initiales.

C’est une des signatures du chaos.
Cela veut dire que de petites causes peuvent avoir de grands effets, non seulement dans des situations exceptionnelles, mais pour toutes les conditions initiales. En bref, le terme Chaos désigne une situation où, pour n'importe quelle condition initiale, l'incertitude des prédictions croît rapidement avec le temps.

Mais la première trace de cette sensibilité aux conditions initiales était déjà présente dans les écrits d’Edgar Allan Poe :
« ... Car, relativement à la dernière partie de la supposition, on doit considérer

que la plus légère variation dans les éléments des deux problèmes pourrait engendrer les plus graves erreurs de calcul, en faisant diverger absolument les deux courants d’évènements ; à peu prés de la même manière qu’en arithmétique une erreur qui, prise individuellement, peut être inappréciable, produit à la longue, par la force accumulative de la multiplication, un résultat effroyablement distant de la vérité ... »
Edgar Allan Poe

The mystery of Marie Roget, 1843

Trad. Charles Baudelaire, 1864

Au début du XXe siècle, pour illustrer le concept de sensibilité aux conditions initiales, Poincaré donne un exemple emprunté à la météorologie :
« Pourquoi les météorologistes ont-ils tant de peine à prédire le temps avec quelque certitude ? Pourquoi les chutes de pluie, les tempêtes elles-mêmes nous semblent-elles arriver au hasard, de sorte que bien des gens trouvent tout naturel de prier pour avoir de la pluie ou du beau temps, alors qu'ils jugeraient ridicule de demander une éclipse par une prière ? Nous voyons que les grandes perturbations se produisent généralement dans les régions où l'atmosphère est en équilibre instable. Les météorologistes voient bien que cet équilibre est instable, qu'un cyclone va naître quelque part ; mais où, ils sont hors d'état de le dire ; un dixième de degré en plus ou en moins en un point quelconque, le cyclone éclate ici et non pas là, et il étend ses ravages sur des contrées qu'il aurait épargnées. Si on avait connu ce dixième de degré, on aurait pu le savoir d'avance, mais les observations n'étaient ni assez serrées ni assez précises, et c'est pour cela que tout semble dû à l'intervention du hasard. »


    1. L’effet papillon


Les citations précédentes sont sans doute les premières descriptions de ce qui a, beaucoup plus récemment, été baptisé l’ « effet papillon », l’idée qu’à cause du caractère instable des évolutions dynamiques associées au système météorologique, le battement d’ailes d’un papillon pourrait sur le long terme être à l’origine de tempêtes et autres cataclysmes.
Ainsi, le premier exemple connu de comportement chaotique a été observé par un météorologue : Edward Lorenz (1917).
C’est d’ailleurs assez singulier si l’on se réfère à la citation précédente de Poincaré de constater que c’est par la métaphore qu’il avait employée que la théorie qu’il a contribué à créer va être mise en évidence pour la première fois.
Après son doctorat, Lorenz a commencé des travaux en 1948 au département de météorologie du Massachusetts Institute of Technology. Il est devenu en 1955 le directeur de projet sur les prévisions météorologiques statistiques. Suivant en cela l’exemple des astronomes des XVIIIe et XIXe siècles, Lorenz effectuait des calculs à la main pour avoir une estimation des solutions. Puis, utilisant des modélisations informatiques de l’atmosphère terrestre et des océans, Lorenz a étudié la corrélation entre trois facteurs météorologiques non-linéaires : la température, la pression et la vitesse du vent. Il a découvert que d’infimes variations dans les conditions initiales produisaient des résultats extrêmement changeant et imprédictibles.

Pour la petite histoire, on raconte qu’un jour de 1961, Lorenz décida de prendre un raccourci avec sa machine à prédire le temps. Il voulait examiner une séquence de grande longueur. Aussi plutôt que de faire redémarrer le programme depuis le début, il le démarra à mi-course, rentrant directement les nombres déjà trouvés lors d’un précédent calcul … et alla prendre un café. Quant il revint il n’en crut pas ses yeux. Le nouveau temps que sa machine venait d’engendrer n’avait rien à voir avec l‘original. Les deux systèmes étaient complètement différents. C’est alors qu’il compris ce qui était arrivé. Il avait rentré 0.506, le nombre imprimé à l’issu du premier calcul alors que le nombre original gardé en mémoire par l’ordinateur était 0.506127. Cette minuscule différence (un cinq millième) n’était pas sans conséquence. Lorenz réalisa que de minuscules différences dans les conditions initiales telles qu’un souffle de vent pouvait avoir des effets catastrophiques.
Lorenz a décrit en 1963, les conséquences de sa découverte dans un article désormais célèbre : Deterministic Non-Periodic Flow, Journal of Atmospheric Sciences.
« Cela implique, dit-il, que deux états qui ne diffèrent que par d’infimes quantités peuvent évoluer vers deux états totalement différents. Partant de là s’il y la moindre erreur dans l’observation d’un état au temps présent, et de telles erreurs semblent inévitables dans n’importe quel système réel, il se pourrait bien qu’il soit impossible de faire une prédiction valable de ce que deviendra cet état dans un futur lointain. »
Démonstration : MatLab / Demos / Graphics / Lorenz
La forme que prennent les trajectoires du modèle de Lorenz est bien celle d’un papillon mais si la métaphore utilisée par Lorenz pour illustrer la sensibilité aux conditions initiales s’inspire de naturellement de cette ressemblance l’invention de « l’effet papillon » est propre à Lorenz qui intitula sa conférence au 139ème meeting de l’American Association for the Advancement of Science le 29 décembre 1972 (soit presque dix ans après sa découverte) :
The Butterfly Effect
Predictability:

Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil Set off a Tornado in Texas ?

Dans les exemples du pendule et du modèle de Volterra les trajectoires avaient l’allure de courbes (cercles, ellipses, …). Sur cette figure on remarque que les trajectoires dessinent une « surface » en forme de papillon.

Dans leur article de 1971, David Ruelle et Floris Takens ont qualifié cette surface d’« attracteur étrange ».
Attracteur dans le sens où quelle que soit la condition initiale choisie (dans un certain voisinage) la trajectoire aboutira inexorablement sur cette surface-papillon.
Etrange parce que les trajectoires dessinent une surface dont la dimension n’est pas entière et égale à 2 mais fractale, c’est-à-dire non-entière.


    1. Les fractales


Une fractale est un objet qui présente les deux propriétés suivantes :


  • La première est que sa dimension est non-entière, fractale, i.e., qu’il possède une dimension qui se situe par exemple entre celle d’une surface et celle d’un volume. C’est le cas par exemple de la biscotte.


En effet, imaginez une biscotte totalement compacte, i.e., non-alvéolée.

Sa dimension serait alors égale à 3. Et la surface de la biscotte que l’on « tartine » de confiture égale à 2. Mais le propre d’une biscotte est de présenter certaines irrégularités, certaines lacunes. Ainsi, sa dimension ne peut être égale à 3 mais doit se situer entre deux et trois. Pas tout à fait une surface, pas tout à fait un volume. En ce qui concerne la surface à « tartiner » sa dimension n’est pas non plus égale à 2, pour le plus grand plaisir des gourmands. En réalité, la confiture va « s’immiscer » dans les « trous » de la biscotte. Si on compare la quantité de confiture que l’on pourrait étaler sur une biscotte idéale, i.e., sans trous et une vraie biscotte on constate que dans le premier cas la quantité de confiture est moindre.


  • La seconde propriété est que cet objet est auto-similaire, i.e., que chacune de ses parties représente un motif qui est celui de l’objet lui-même.


D’après Mandelbrot, les fractales sont partout dans la nature :


  • les côtes bretonnes, les fougères, les choux, les flocons de neige,

  • les alvéoles pulmonaires, les feuilles, les architectures,

  • les peintures …


    1. Quel est le rôle du hasard dans le Chaos ?


Il est nécessaire de parler de hasard mot qui vient de l’arabe et signifie les dés, et essayer de reformuler ce concept en termes qui permettent l'application des méthodes scientifiques.

On dit qu'un événement relève du hasard s'il peut, pour autant que nous sachions, soit se produire soit ne pas se produire, et nous avons tendance à concevoir notre incertitude à ce sujet comme ontologique et fondamentale.

Mais en fait l'utilité essentielle des concepts du hasard est de décrire une connaissance entachée d'incertitude, quelles que soient les origines de la connaissance et de l'incertitude. Si je dis qu'`a cette heure ci Jean Durand a une chance sur deux d'être chez lui, je fournis une information utile : cela vaut la peine d'essayer de téléphoner à son appartement. La probabilité un demi que j'attribue au fait que Jean Durand soit chez lui reflète ma connaissance de ses habitudes, mais n'a pas de caractère fondamental. En particulier, Jean Durand lui-même sait très bien s'il est chez lui ou pas. Il n'y a donc pas de paradoxe à ce que des probabilités différentes soient attribuées au même évènement par différente personnes, ou par la même personne à des moments différents.
Le hasard correspond à une information incomplète,

et peut avoir des origines diverses.
Il y a un siècle environ, Henri Poincaré a fait une liste de sources possible de hasard. Il mentionne par exemple qu'au casino, c'est le manque de contrôle musculaire de la personne qui met en mouvement la roulette qui justifie le caractère aléatoire de la position où elle s'arrête.
La vision de l'arbitraire et du hasard est, quant à elle, issue du fait que seuls les systèmes complexes, composés d’un trop grand nombre d’éléments, (donc qu’on ne pouvait connaître voire comprendre) n’entraient pas dans cette conception déterministe. Ces systèmes se révélaient comme soumis au hasard et correspondant au chaos. Or les comportements liés au hasard étaient jusqu'à ce moment liés à un phénomène de grands nombres... Henri Poincaré va remettre en cause ce présupposé en définissant ce qu'il appellera par la suite
« sensibilité critique aux conditions initiales ».

Cette découverte est un des fondements de la théorie du Chaos.

On voudrait de ci de là que le Chaos alimente la thèse du hasard érigé en système explicatif. Or, c’est tout le contraire, le chaos se présente plutôt comme un territoire d’intelligibilité conquis à l’empire du hasard. Michel Bournias, Professeur de Biomathématiques à l’université d’Avignon, l’a très bien compris en intitulant l’un de ses articles : « Le Hasard battu par Chaos ! » Le Chaos tout comme le hasard exploite le possible, rien que le possible, jamais l’impossible.

Le Chaos dynamique déploie les possibilités dynamiques d’un système dynamique et nulle intervention du hasard ne peut être invoquée.

Pour résumer on pourrait dire que dans la théorie du Chaos le hasard n’est pas la somme de notre ignorance mais une sensibilité aux conditions initiales qui est plutôt le reflet de notre incapacité à mesurer l'état initial avec une précision illimitée.


    1. A quoi sert la Théorie du Chaos ?


Le chaos se manifeste dans les systèmes dynamiques conçus à partir d’équations déterministes, non-intégrables d’au moins trois variables par un comportement, instable, irrégulier et erratique rendant impossible toute prédiction sur son évolution future.
De tels systèmes sont obtenus lorsque l’on cherche à représenter le plus fidèlement possible l’évolution d’un phénomène comme la météorologie par exemple. Ainsi, il semble que la plupart des phénomènes qui nous entourent soient chaotiques : les marchés boursiers, les embouteillages, le fonctionnement du cœur, celui du cerveau, …


    • Le chaos dans le cœur


C’est ainsi que l’on a découvert que l’activité cardiaque n’est pas régulière et présente un comportement chaotique. En effet son rythme est sensible aux conditions initiales et à la dimension fractale de son attracteur qui est basé sur la dynamique cardiaque. On a découvert que plus le coeur bat régulièrement par exemple moins il est capable de s’adapter. C’est dans ces conditions que survient la crise cardiaque.
Le chaos cardiaque présente une dimension fractale élevée, de l’ordre de 3.25, ce qui signifie que nous avons besoin d’au moins 4 variables pour décrire ce système. L’étude de la dimension fractale des cas pathologiques permet donc aux spécialistes de savoir si la personne a déjà eu un infarctus. Mais en présence de certaines pathologies cardiaques, la dimension fractale peut également diminuer et le rythme peut se régulariser, d’où l’intérêt de comparer la dimension fractale du système au rythme cardiaque.

La variabilité normale du coeur, c’est-à-dire l’intervalle entre deux battements n’est jamais régulier. Chez les jeunes très athlétiques par exemple, ces irrégularités sont très importantes alors qu’elles sont beaucoup plus faibles chez les personnes du troisième âge. On observe aussi que chez certains malades, le faible développement des irrégularités est parfois le signe d’une pathologie très sévère.

Ce comportement chaotique du coeur est très étonnant et soulève une question essentielle sur le rôle constructif que joue le chaos en biologie. En fait le système cardiaque ne pourrait pas survivre sans le chaos car c’est justement sa puissance d’auto-organisation qui permet au système de s’adapter.

Il ne faut pas concevoir le coeur uniquement comme une pompe. Il est également contrôlé par le système hormonal, le système nerveux qui contrôle nos émotions, la pression sanguine, etc. Il s’agit donc d’un système multivariables. Nous savons bien que lorsque nous courrons ou sommes surpris notre coeur palpite beaucoup plus rapidement et provoque une série d’effets secondaires souvent incontrôlables. Même la façon dont nous respirons influence notre rythme cardiaque. Le coeur est donc sous l’influence de très nombreux facteurs. Les mathématiques nous disent que lorsque nous sommes en face d’un système d’au moins trois variables non linéaires et interdépendantes, le chaos surgit. Il serait donc tout à la fois et incompréhensible et merveilleux qu’un système aussi complexe que le coeur, dépendant d’autant de facteurs ne soit pas sous l’influence d’un attracteur chaotique.

Notre coeur doit être un organe très flexible pour s’adapter aux conditions continuellement changeantes de notre vie quotidienne. Il doit en même temps suivre les besoins en oxygène de notre organisme lorsque nous faisons des efforts violents, mais il doit également réguler son rythme pour ne pas provoquer de catastrophes. Nous savons qu’un attracteur chaotique se caractérise par un nombre très élevé de trajectoires périodiques instables, similaires à nos conditions de vie. C’est probablement la raison pour laquelle le travail cardiaque se doit de suivre le profil d’un attracteur chaotique pour survivre dans cet environnement complexe.  

    • Le chaos dans le cerveau

L’activité neuronale du cortex semble également relever du chaos. Cela ne signifie pas que le cerveau est le siège d’un désordre total, mais bien au contraire qu’il dépend d’un système d’organisation très complexe sensible aux conditions initiales. Ceci explique pourquoi le cerveau comme le coeur sont capables de s’adapter très rapidement aux circonstances ou de changer rapidement d’état.

Malgré plus d’un siècle de recherches, il est encore très difficile de comprendre comment le cerveau assure ses différentes fonctions. Les modèles dynamiques du cerveau, ce que l’on appelle les systèmes informatiques neuronaux sont aujourd’hui étudiés avec la plus grande attention et ce n’est que tout récemment que les chercheurs ont démontré que le chaos joue un rôle dans l’organisation du cerveau.

On peut suivre l’activité globale du cerveau sur un électroencéphalogramme (EEG). On implante des électrodes sur la voûte crânienne et l’on mesure l’activité électrique du cerveau. Cette technique est très ancienne et fut utilisée pour la première fois par Berger. Il pensait qu’en analysant les EEG ont pouvait connaître les pensées des individus. Il en était à ce point convaincu qu’il refusa toujours qu’on enregistre son EEG. Aujourd'hui nous ne pouvons toujours pas lire la pensée humaine, mais l’EEG est devenu le fleuron des outils d’études cliniques. Il est utilisé pour poser des diagnostiques au sein des laboratoires du sommeil.

L’électroencéphalogramme représente une série temporelle qu’il est possible d’analyser dans l’espace des phases au moyen de techniques particulières qui mettent en évidence la structure chaotique de son attracteur.  

En 1985 les biologistes ont pu montrer que les différentes activités électriques du cerveau présentaient différents types d’attracteurs dont la dimension fractale put être mesurée. Un patient ayant les yeux ouverts présente un EEG de basse amplitude et de haute fréquence. L’attracteur correspondant a une dimension élevée. Lorsque les yeux sont fermés, le profil des ondes change immédiatement, l’amplitude devient plus élevée et la fréquence diminue. Nous sommes en présence des fameuses ”ondes alpha”. L’activité cérébrale est beaucoup plus régulière et l’attracteur correspondant présente une structure beaucoup mieux définie. En phase de veille, lorsque nos perceptions cognitives diminuent, l’activité cérébrale se caractérise également par une amplitude élevée et une fréquence plus basse, qui se rapproche des ondes alpha.

Dans la phase de sommeil dite paradoxal, durant laquelle nous pouvons avoir des activités cognitives internes, ce sont les rêves, les ondes électriques retrouvent un profil proche de celui que nous avons lorsque nous avons les yeux ouverts. Les signaux sont de faible amplitude et de haute fréquence. La dimension fractale augmente à nouveau.

Chez l’individu normal la dimension fractale est la plus petite durant le sommeil profond. Mais il existe un certain nombre de pathologies intéressantes. Il existe une forme d’épilepsie appelée “petit mal” durant laquelle les signaux du cerveau présentent une activité étonnamment régulière. Durant ces crises qui ne durent que quelques secondes, l’EEG de ces patients se caractérise par une grande amplitude mais le patient perd toute ses capacités cognitives. Dans ces situations bien particulières il semble que le cerveau fonctionne comme un tout cohérent. L’attracteur de cet état est très structuré, presque réduit à un cycle limite un peu brouillé. La dimension fractale de cet objet est également très basse, similaire à l’attracteur étrange de Lorenz, un système se définissant par trois variables.

Si cette crise d’épilepsie ne dure que quelques secondes, il existe une autre maladie, le syndrome de Creutsfeldt-Jakob dont l’origine est virale qui est capable de détruire les neurones du cerveau et plonge finalement le malade dans un coma fatal. Un cas typique est celui d’un patient dont on avait enregistré l’EEG durant deux jours, jusqu’à sa mort. Son tracé était très régulier mais en contrepartie la victime n’avait plus la moindre aptitude motrice ou cognitive lorsque son cerveau produisait ces signaux. Le système présentait un attracteur chaotique de très faible dimension mais malgré tout supérieure à celle de l’attracteur de l’épilepsie.

Ainsi si l’on passe des attracteurs d’un patient ayant les yeux ouverts à celui du sommeil paradoxal, à celui de l’épilepsie et du coma, on peut en conclure que la puissance cognitive augmente avec la dimension fractale et tend à disparaître lorsque la dimension fractale diminue. On peut donc dire que l’activité cérébrale du cerveau calque en quelque sorte l’activité cardiaque. En conclusion en biologie la régularité semble être un signe pathologique.


Cela dit, nous ne savons toujours pas quel est le rôle du chaos. Le cerveau comme le coeur tirent parti du chaos. Les biologistes pensent que le chaos est utilisé par le cerveau afin d’optimiser le traitement de l’information. Le cerveau doit traiter quasi instantanément un nombre considérable d’informations afin de choisir parmi toutes celles dont il dispose un état particulier qui correspond à une structure que nous connaissons, une solution qui correspond au modèle mémorisé.

Mais comment une information peut-elle être extraite d’un système chaotique ? Les réseaux neuronaux constitués de deux systèmes superposés ont permis de découvrir qu’un modèle simplifié du cerveau, ne contenant que le cortex et le thalamus présentait toutes les caractéristiques d’un oscillateur chaotique dans le temps et dans l’espace. 

Un signal extérieur appliqué sur le premier réseau stabilise les signaux d’entrées ayant des orbites périodiques instables. Le second réseau neuronal est ainsi en mesure de discriminer différents états et de véhiculer une information. Ainsi on peut penser que dans le cerveau, le chaos est un moyen très utile pour traiter l’information, ce serait peut-être la composante essentielle de sa méthode de travail. Un système chaotique est en effet très flexible et passe très rapidement d’une orbite à une autre. C’est donc un moyen excessivement rapide pour passer d’un état à un autre. Cela s’applique aux systèmes qui évoluent en fonction de paramètres de bifurcations ou au monde de la biologie qui produit toujours de nouvelles espèces, de nouvelles enzymes ou de nouveaux récepteurs qu’il faut préserver de la destruction.

Dans le système chaotique le plus simple la question fondamentale est de savoir s’il contient un nombre infini d‘orbites périodiques instables. Si c’est le cas, cela signifierait que ce système dispose d’un nombre infini de moyens de stabilité, qu’il présente un nombre infini de comportements, à l’inverse du cercle limite qui ne présente qu’un seul degré de liberté ou du tore qui se définit par deux degrés de liberté. Un attracteur chaotique est d’une riche extrême et si l’on parvient à le contrôler ont pourrait entrevoir ses immenses facultés. C’est pourquoi l’on peut dire que le chaos siège dans le cerveau car cela fait de lui un instrument très puissant. 

Le chaos peut donc avoir un rôle constructif, rendant les systèmes vivants plus adaptés à leur environnement. La nature est également concernée par le chaos lorsqu’elle s’en sert dans une fonction constructive et que nous l’utilisons pour bâtir des systèmes artificiels.
La représentation de ces phénomènes appelée aujourd’hui modélisation a pour objet de déterminer la forme géométrique et la structure des « attracteurs étranges » vers lesquels convergent les solutions de ces systèmes. Bien qu’une prédiction à long terme soit impossible il reste cependant possible d’obtenir des surfaces formant une partie de ces « attracteurs étranges » et sur lesquels le comportement des trajectoires est parfaitement déterminé. Ces surfaces ont pour but de « restaurer » une partie du déterminisme perdu et de fournir de précieuses indications sur la manière avec laquelle les variables du système sont reliées.

  1   2

similaire:

Chaos originel et la théorie du Chaos iconLa théorie du chaos est pour les mathématiciens une théorie comme une autre, née au XX e
«détermine» le lieu précis où le ballon va tomber, I e., par expérience, IL analyse deux instants passé et présent du ballon et IL...

Chaos originel et la théorie du Chaos iconCommuniqué de presse
«Chaos» est composé d’œuvres monumentales qui invitent à la déambulation. L’écologie et l’économie, la réalité et la fiction, le...

Chaos originel et la théorie du Chaos iconLe peche originel, une tradition mise au defi et le defi d’une tradition
«Le Christianisme ne serait pas sérieux s’il n’était pas capable d’affronter en vérité et donc en actes, cet effroyable mystère négatif,...

Chaos originel et la théorie du Chaos iconRésumé : Entre 1930 et 1959 R. Ruyer a su proposer une théorie de...
«“Percevoir l'étendue ”, c'est une façon d'être étendu»(Ruyer, 1932,c, p. 527), mais l'étendue est la véritable chose en soi qui...

Chaos originel et la théorie du Chaos iconExamen Théorie Niveau 3

Chaos originel et la théorie du Chaos iconExamen Théorie Niveau 3

Chaos originel et la théorie du Chaos iconExamen Théorie Niveau 2

Chaos originel et la théorie du Chaos iconTheorie de l’heredite1 Francis galton

Chaos originel et la théorie du Chaos iconBibliographie transgenre/transexualité Théorie

Chaos originel et la théorie du Chaos iconPartie 1: Une théorie de l'hérédité déjà ancienne








Tous droits réservés. Copyright © 2016
contacts
b.21-bal.com