Modélisation des Systèmes Non linéaires décrits par sif de type Mamdani








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date de publication22.01.2018
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Identification des SNL par des SIF.


  1. Introduction

L
Perturbations
’Automatique consiste en l’étude des systèmes réels des différentes disciplines scientifiques (Electronique, mécanique, thermique, chimie, écologie, biologie, économie, sociologie, physique, cosmologie…), en vue de l’analyse, de la prédiction, de la surveillance, de la commande, et / ou de l’optimisation des systèmes. Généralement, la connaissance du modèle du système réel (on réalise une modélisation) est nécessaire dans l’étude. Un système est un objet dans lequel des variables de différents types interagissent et produisent des signaux observables.


SYSTEME

Entrées

Sorties



Figure 0 : représentation d’un système
Pour élaborer un modèle, deux approches sont souvent considérées :

  • La première qualifiée de « modélisation boîte blanche » ou de « modélisation théorique » se fonde sur les lois physiques, chimiques, mécaniques, biochimiques, intervenant dans le système.

  • La deuxième approche dite « modélisation boite noire » ou modélisation s’attache à établir « à partir de données expérimentales, une relation entre les variables des entrées du processus et les variables de ses sorties et ne nécessite pas a priori la connaissance des lois physiques.


La recherche de modèles, est une préoccupation majeure dans la plupart des disciplines scientifiques. Elle désigne a la fois une démarche scientifique et un ensemble de techniques visant à déterminer à partir des données expérimentales des modèles capables de reproduire aussi fidèlement que possible le comportement d’un système physique, chimique, biologique, économique…
Devant la complexité des systèmes (non linéarités, multivariables, paramètres variant dans le temps, absence de relations physiques mises en jeu …), le recours à des modèles de type boite noire capable de reproduire leur comportement devient nécessaire. Dans le cas des systèmes linéaires, ces modèles (ARX, ARMAX, …) ont été largement étudiés et utilisés. Cependant, peu de systèmes physique ont un comportement linéaire. Pour décrire le comportement des systèmes non linéaires des modèles type boite noire à base de réseaux de neurones et de la logique floue ont été développés. Ces modèles ont la faculté de reproduire le comportement de systèmes fortement non linéaires.
Identifier un processus (système), c’est chercher un modèle (dynamique), appartenant à une classe de modèles connue, et qui, soumis à des signaux tests (en entrée), donne une réponse (dynamique et statique en sortie), la plus proche possible du système réel [VILLAIN – 1996].

Dans ce travail, nous allons présenter deux méthodes de modélisation des systèmes non linéaires par des systèmes d’inférence floue .
2) Modélisation des Systèmes Non linéaires décrits par SIF de type Mamdani
Le but consiste à déterminer un SIF de n règles de type Mamdani permettant de reproduire le comportement d’un système non linéaire.
On considère un SIF à n entrées et un sortie. Les règles linguistiques de type Mamdani sont de la forme :

Si x1 est F1l et …. et xn est Fnl alors y est Gl



l=1 … M : l’indice de la règle

Fil : désigne le lème ensemble flou qui caractérise la ième variable d’entrée xi

Gl : désigne le lème ensemble flou qui caractérise la variable de sortie y.

Chaque règle l représente une implication floue de dans l’espace Rn+1
Etant donné l’entrée x=(x1, ….,xn), en utilisant l’inférence de type Larsen (Sup-produit)

La sortie de la lème règle est définie par la fonction d’appartenance



La sortie floue globale associée à l’ensemble de règles est :







En utilisant la défuzzification par la méthode du centre de gravité :


Si on considère que les points modaux des valeurs floues de la sortie Gl(l=1, ….,M) () pour calculer le centre de gravité(), on a
l’équation () devient


avec



et Par conséquent, la sortie estimée du système d’inférence floue est :



avec est la valeur modale de la valeur floue Gl .
Dans le cas des fonctions d’appartenance de type gaussien, nous avons :

Cette fonction traduit une relation non linéaire entre le vecteur d’entrée x et la sortie y. Le but de la modélisation des systèmes non linéaire par le SIF de type Mamdani consiste alors à

déterminer les paramètres de règles (,,, (,)) permettant de minimiser l’erreur quadratique



où d désigne la sortie désirée du système et f(x) la sortie estimée par le FIS.
La modélisation d’un système non linéaire par un SIF à partir de données expérimentales se décompose en :

• Le choix de la structure du SIF,

• Identification des paramètres du SIF,
Comme le rappelle la figure 1, l’approche est similaire à celle classique pour l’identification de systèmes linéaires .

Supposons que nous avons les données entrée-sortie caractérisant le comportement de système non linéaire à modéliser (x, d) où x=(x1,x2,x3, …, xn)Rn et d=()

En utilisant l’algorithme du gradient
a) Estimation de


avec , l= 1,..,M, k=1;2, Et  est le pas du gradient supposé constant.

En substituant () dans ()



b) Estimation de


avec
on obtient
(2)
c) Estimation de


En utilisant la méthode que précédemment, on obtient
(3)
Les équations (1) (2) et (3) réalise la procédure de l’erreur de propogation.
Synthèse du SIF
On considère le système non linéaire discret :
y(k+1)=f(y(k),y(k-1),…..,y(k-n+1) ;u(k),….,u(k-m+1))



  • f est une fonction inconnues que ne voulons identifier.

  • u et y sont les entrées sorties du systèmes

  • n et m sont des entiers naturels.


Il existe deux structure pour identifier le système

  • S
    tructure parallèle :



  • Structure Série-Parallèle






En général, la structure Serie/parallèle est meilleure que la structure parallèle.
La synthèse du SIF consiste en deux parties

  1. Initialisation des paramètres du SIF

  2. Adaptation (ajustement) en ligne des paramètres de règles linguistiques.


a) Initialisation des paramètres.
Supposons que nous cherchons à déterminer M à n entrées et 1 sorties. Donc, on aura (2*n+1)*M paramètres à identifier. Pour initialiser ces paramètres, on considère les M premières lignes du fichier entrées/sorties :

On définit

et

ou i=1…..n, l=1,….,M.

sont les entrées du systèmes non linéaires et du SIF et g(u(l)) est la sortie désirée du système SIF pour l’entrée u(l).
(répartition uniforme)
Théorème :

,/ le SIF avec les initialisation ci-dessus a la propriété suivante (Wang)

pour l=1 ….M

Exemples :


avec est une fonction inconnue
Afin d’identifier le système, la structure série parallèle est employée .

On choisit M=40 ,  =0.5,

Programme Matlab


clear;
% Hypothèses de départ

M=40; % nombre de fonctions d'appartenance

nbpts=400; %nombre de points sur lequel on travaille

t=(0:nbpts);

u=sin((2*t*pi)/250); %l'entrée

g=0.6*sin(pi*u)+0.3*sin(3*pi*u)+0.1*sin(5*pi*u); %la sortie

% INITIALISATION

l=(1:M);

x0=u(l)';

y0=g(l)';

I1=ones(20,1);

sigma0=((max(u(l))-min(u(l)))/(2*M)).*I1;

% Estimation en ligne

nbriter=200; % nbre d'itérations

for i=1:nbriter,

b=0;

a=0;

d=g(i); %sortie

x=u(i); %entrée

for k=1:M ,

Fap(k)=gaussmf(x,[sigma0(k),x0(k)]);

end;

a=sum(Fap'.*y0);

b=sum(Fap);

f=a/b;

e=(0.5*(f-d)/b).*Fap';

sigma0=sigma0-2.*e.*(y0-f).*((x-x0).^2)./((sigma0).^3);

x0=x0-2*e.*(x-x0)./((sigma0).^2);

y0=y0-e;

end;

%Reconstitution du signal de sortie a partir des paramètres estimés

y(2)=0;

y2(2)=0;

for i=2:nbpts,

b=0;

a=0;



for k=1:M,

Fap(k)=gaussmf(u(i),[sigma0(k),x0(k)]);

end;

b=sum(Fap);

a=sum(Fap'.*y0);

f2=a/b;

y(i+1)=0.3*y(i)+0.6*y(i-1)+g(i);

yes(i+1)=0.3*y(i)+0.6*y(i-1)+f2;

end;
%TRACE

plot([y' yes']);

% FIN



Exemple 2 :

Y(k+1)=g(y(k),y(k-1))+u(k)

Avec

U(k)=sin(2k/25).
Programme Matlab

% valeur de la sortie y et estimée yy
% initialisation

clear;

y(1)=0; y(2)=0;

k=(1:200);

u=sin(2*pi*k/25); % entrée

M=40; % nombre de fonctions d'appartenance
% sorties

for k=2:201

u(k)=sin(2*pi*k/25);

g(k)=y(k)*y(k-1)*(y(k)+2.5)/(1+y(k)*y(k)+y(k-1)*y(k-1));

y(k+1)=g(k)+u(k);

end
% INITIALISATION

l=(1:M);x_10=y(2:41)';x_20=y(1:40)'; y0=g(1:40)';

I1=(1:M)'-(0:M-1)';

sig_x1=(max(x_10)-min(x_10))/(2*M).*I1;

sig_x2=(max(x_20)-min(x_20))/(2*M).*I1;

%b=0.001;
%ESTIMATION EN LIGNE

for i=2:201,

a=0;b=0;

d=g(i);

x1=y(i);

x2=y(i-1);

for k=1:40 ,

fonc_x1(k)=gaussmf(x1,[sig_x1(k),x_10(k)]);

fonc_x2(k)=gaussmf(x2,[sig_x2(k),x_20(k)]);

end;

b=sum(fonc_x1'.*fonc_x2');

a=sum(fonc_x1'.*fonc_x2'.*y0);

f=a/b;

e=(0.5*(f-d)/b).*fonc_x1'.*fonc_x2';

sig_x1=sig_x1-2*e.*(y0-f).*((x1-x_10).^2)./((sig_x1).^3);

sig_x2=sig_x2-2*e.*(y0-f).*((x1-x_20).^2)./((sig_x2).^3);

x_10=x_10-2*e.*(x1-x_10)./((sig_x1).^2);

x_20=x_20-2*e.*(x2-x_20)./((sig_x2).^2);

y0=y0-e;
end;
y(1)=0;

y(2)=0;

for i=2:401,

a=0;b=0;

x1=y(i);

x2=y(i-1);

if(i<250),

u(i)=sin(2*pi*i/25);

else

u(i)=0.5*sin(2*pi*i/250)+0.5*sin(2*pi*i/25);

end;

g(i)=y(i)*y(i-1)*(y(i)+2.5)/(1+y(i)*y(i)+y(i-1)*y(i-1));
for k=1:40 ,

fonc_x1(k)=gaussmf(x1,[sig_x1(k),x_10(k)]);

fonc_x2(k)=gaussmf(x2,[sig_x2(k),x_20(k)]);

end;

b=sum(fonc_x1'.*fonc_x2');

a=sum(fonc_x1'.*fonc_x2'.*y0);

fes=a/b;
yes(i+1)=u(i)+fes;

y(i+1)=u(i)+g(i);

end;
plot([y' yes']);



Exemple2bis

% valeur de la sortie y et estimée yy
y(1)=0;

y(2)=0;
for k=2:200

u(k)=sin(2*pi*k/25);

g=y(k)*y(k-1)*[y(k)+2.5]/(1+y(k)*y(k)+y(k-1)*y(k-1));

y(k+1)=g+u(k);

end
% valeurs de u et y sur 200 itérations
tab=[u(2:199)' y(2:199)']
%nombre de fonction d'appartenance

nummfs = 20;
% type de fonction d'appartenance (gausseene)

mftype = 'gaussmf';

stepsize=1;
% nombre d'itérations

no = 20;

inputfismat = genfis1(tab,nummfs,mftype);

outputfismat = anfis(tab,inputfismat,[no nan stepsize]);
% sortie estimée

yy=evalfis(u',outputfismat);
% affichage des sorties

plot([yy(2:199) y(2:199)']);


Exemple 3
y(k+1)=g(y(k),y(k-1),y(k-2),u(k),u(k-1))
avec

u(k)=sin(2*pi*k/125) si k<500

u(k)=0.8*sin(2*k*pi/125)+0.2*sin(2*k*pi/25) si k>500;
Modèle estimé

% -----------------------------------LOGIQUE FLOUE----------------------------------------%

Y(1)=0; Y(2)=0; Y(3)=0;

X(1)=0; X(2)=0; X(3)=0; X(4)=0; X(5)=0;

g(1)=0; g(2)=0;

U(2)=0;
for k = 3:1000,

if k<500 u=sin(2*pi*k/125);

else u=0.8*sin(2*k*pi/125)+0.2*sin(2*k*pi/25);

end

U(k) = u;

x1=Y(k); X1(k) = x1;

x2=Y(k-1); X2(k) = x2;

x3=Y(k-2); X3(k) = x3;

x4=U(k); X4(k) = x4;

x5=U(k-1); X5(k) = x5;

g(k)=(x1*x2*x3*x5*(x3-1)+x4)/(1+x3*x3+x2*x2);

Y(k+1)=g(k);

end

pause


plot(Y(1:1000));
pause

td = [X1' X2' X3' X4' X5' g'];

num = [2 2 2 2 2];

mt = 'gbellmf';

ne = 20;

pas = 1;

iff = genfis1(td, num, mt);

of = anfis(td, iff,ne);

YY = evalfis(td(:,1:4),of);
figure

plot([YY g']);

legend('sortie mesurée','sortie estimée');

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