Note de l’éditeur Science et perception dans Descartes








télécharger 0.67 Mb.
titreNote de l’éditeur Science et perception dans Descartes
page12/15
date de publication20.05.2017
taille0.67 Mb.
typeNote
b.21-bal.com > loi > Note
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15
Sur la science

[Écrits publiés entre 1932 et 1942.]

(1932-1942)
Extraits de lettres
et de brouillons de lettres
à A. W.
(Janvier-avril 1940)

I. Extrait de lettre

Retour à la table des matières
[...] J'ai réussi à me procurer le livre sur la mathématique babylonienne et égyptienne. [...] J'ai envie d'écrire à l'auteur concernant une question qu'il laisse non résolue, celle des moyens par lesquels les Égyptiens ont pu, avec une géométrie d'après lui extrêmement grossière et empirique, trouver une approximation remarquablement précise de à savoir surface du cercle =
Cela me paraît assez facile à imaginer, si on suppose que les méthodes sont très grossières. Si on divise le carré circonscrit en 81 petits carrés, on peut considérer que pour avoir la surface du cercle il faut retrancher dans chaque coin trois de ces carrés, plus à peu près la valeur de trois demi-carrés.
Il y a un problème babylonien vraiment savoureux. On donne les dimensions d'un canal à creuser, la productivité d'un ouvrier par jour en volume de terre déplacée, et la somme des jours de travail et des ouvriers. On doit trouver le nombre des jours de travail et celui des ouvriers. je me demande ce que diraient les parents d'élèves si on posait aujourd'hui à un examen un problème formulé d'une manière analogue ? Ce serait amusant d'en faire l'expérience. Drôles de gens, ces Babyloniens. Moi, je n'aime pas beaucoup cet esprit d'abstraction - les Sumériens devait être beaucoup plus sympathiques. D'abord, c'est eux qui ont inventé tous les mythes mésopotamiens, et des mythes, c'est autrement intéressant que l'algèbre. Mais toi, tu dois descendre des Babyloniens en ligne directe. Pour moi, je pense bien que Dieu, selon la parole pythagoricienne, est un géomètre perpétuel - mais non pas un algébriste. Quoi qu'il en soit, je me suis félicitée, en lisant la dernière lettre que j'ai reçue de toi, de voir que tu te défendais d'appartenir à l'école abstraite.
Je me souviens qu'à Chançay ou à Dieulefit tu disais que ces études sur l'Égypte et Babylone jettent un doute sur le rôle de créateurs attribué jusqu'ici aux Grecs en matière mathématique. Mais je crois qu'on y trouve plutôt, jusqu'ici (sous réserve de découvertes ultérieures) une confirmation de ce rôle. Les Babyloniens semblent s'être attachés à des exercices abstraits concernant les nombres, les Égyptiens avoir procédé d'une manière purement empirique. L'application d'une méthode rationnelle à des problèmes concrets et à l'étude de la nature semble avoir été le propre des Grecs. (Il est vrai qu'il faudrait connaître l'astronomie babylonienne pour pouvoir juger.) Le singulier est que les Grecs devaient connaître l'algèbre babylonienne, et pourtant on n'en trouve pas trace chez eux avant Diophante (qui est, si je ne me trompe, du IVe siècle après J.-C.) ; car la géométrie algébrique des pythagoriciens est tout autre chose. Il doit y avoir là-dessous des conceptions religieuses ; apparemment la religion secrète des pythagoriciens devait s'accommoder de la géométrie et non de l'algèbre. Si l'Empire romain n'avait pas détruit tous les cultes ésotériques, on comprendrait peut-être quelque chose à ces énigmes.
II. Extrait de lettre

Retour à la table des matières
[...] Je ne suis pas sûre que la découverte des incommensurables soit une explication suffisante du refus obstiné des Grecs à l'égard de l'algèbre. Ils ont dû connaître l'algèbre babylonienne dès les premiers temps. La tradition attribue à Pythagore un voyage d'études à Babylone. Bien entendu, ils ont transposé cette algèbre en géométrie, longtemps avant Apollonius. Les transpositions de ce genre trouvées dans Apollonius concernent sans doute les équations biquadratiques ; celles du 2e degré peuvent toutes être résolues une fois connues les propriétés du triangle inscrit dans le demi-cercle, découverte attribuée à Pythagore. (On trouve ainsi deux quantités dont on connaît la somme et le produit, ou la différence et le produit.) Mais ce qui est singulier, c'est que cette transposition de l'algèbre en géométrie semble être, non pas un à-côté, mais le ressort même de l'invention géométrique dans toute l'histoire de la géométrie grecque.
La légende concernant la découverte de la similitude des triangles par Thalès (à l'heure où l'ombre de l'homme est égale à l'homme, l'ombre de la pyramide est égale à la pyramide) rapporte cette découverte au problème d'une proportion dont un terme est inconnu.
On ne sait rien de la découverte suivante, celle, par Pythagore, des propriétés du triangle rectangle. Mais voici mon hypothèse, qui est certainement d'accord avec l'esprit des recherches pythagoriciennes. C'est que cette découverte a pour origine le problème d'une moyenne proportionnelle entre deux quantités connues. Deux triangles semblables ayant deux côtés non homologues égaux représentent une proportion à trois termes :

Si on construit les deux termes extrêmes sur une même droite, la figure devient un triangle rectangle (puisque l'angle entre a et b devient un angle plat, dont la moitié est un angle droit). La propriété essentielle du triangle rectangle est d'être formé par la juxtaposition de deux triangles semblables à lui-même et entre eux. Je pense que Pythagore a découvert cette propriété la première. Le triangle rectangle fournit aussi la solution du problème inverse : connaissant la moyenne proportionnelle et la somme ou la différence des extrêmes, trouver les extrêmes.
Quant aux coniques et à leurs propriétés, l'inventeur en cette matière est, dit-on, Ménechme, élève de Platon, l'un des deux géomètres qui ont résolu le problème de la duplication du cube posé par Apollon (l'autre est Archytas ; il l'a résolu par le tore). Ménechme a résolu ce problème par les coniques (deux paraboles, ou une parabole et une hyperbole). Il me paraît donc non douteux qu'il les a inventées à cet effet. Or le problème de la duplication du cube se ramène à celui de trouver deux moyennes proportionnelles entre deux quantités connues.
Il est facile d'imaginer le processus de la découverte. Car le cône est constitué par un cercle de diamètre variable, et la parabole fournit la série de toutes les moyennes proportionnelles entre un terme fixe et un autre variable.
On a donc une série continue de problèmes proportion à quatre termes dont un inconnu - progression géométrique à trois termes dont celui du milieu inconnu - progression à quatre termes dont les deux termes moyens inconnus.
Comme les propriétés du triangle rectangle permettaient de résoudre les problèmes du 2e degré, celles des coniques permettaient de résoudre ceux du 3e et 4e .
À remarquer qu'alors que nous résolvons les équations en supposant que les expressions , etc., ont un sens, les Grecs leur donnaient un sens avant de s'attaquer aux équations de degré correspondant.
A remarquer aussi que l'assimilation de l'inconnue à une variable remonte à tout le moins à Ménechme, sinon plus haut. On ne peut guère supposer que les Babyloniens, avec leurs équations numériques, aient eu cette notion. Les Grecs du Ve siècle possédaient la notion de fonction et celle de la représentation des fonctions par des lignes. L'histoire de Ménechme donne l'impression que les courbes étaient pour eux un moyen d'étudier des fonctions, bien plutôt qu'un objet d'étude.
Dans tout cela, on aperçoit un progrès qui ne présente à aucun moment une rupture de continuité due au drame des incommensurables. Certes, il y a eu un drame des incommensurables, et d'une portée immense. La vulgarisation de cette découverte a fait tomber sur la notion de vérité un discrédit qui dure encore ; elle a fait naître, ou au moins a contribué à faire naître, l'idée qu'on peut démontrer également bien deux thèses contradictoires ; les sophistes ont diffusé ce point de vue dans les masses, ainsi qu'un savoir de qualité inférieure, dirigé uniquement vers la conquête de la puissance ; il en est résulté, dès la fin du Ve siècle, la démagogie et l'impérialisme qui en est inséparable, dont les conséquences ont ruiné la civilisation hellénique ; c'est par ce processus (auquel ont contribué, bien entendu, d'autres causes, notamment les guerres médiques) que les armes romaines ont pu enfin tuer la Grèce sans résurrection possible. J'en conclus que les dieux ont eu raison de faire périr dans un naufrage le pythagoricien coupable d'avoir divulgué la découverte des incommensurables.
Mais chez les géomètres et les philosophes, je ne crois pas qu'il y ait eu drame. Le pythagorisme a été ruiné par tout autre chose (dans la mesure où il l'a été), à savoir par le massacre massif des pythagoriciens en Grande Grèce. D'ailleurs, le pentagone étoilé, qui représente un rapport entre incommensurables (division d'une ligne en extrême et moyenne raison) fut un des symboles des pythagoriciens. Mais Archytas (un des survivants) fut un grand géomètre, et il fut le maître d'Eudoxe, auteur de la théorie des nombres réels, de la notion de limite et de la notion d'intégration telles qu'elles sont exposées dans Euclide. Rien ne donne à penser que les pythagoriciens, en parlant de nombre, aient entendu par là seulement les nombres entiers. Tout au contraire, en disant que la justice, etc., sont des nombres, ils faisaient clairement apparaître, il me semble, qu'ils employaient ce mot pour désigner toute espèce de proportion. Es étaient certainement capables de concevoir le nombre réel.
À mon avis, le point essentiel de la découverte des incommensurables est extérieur à la géométrie. Il consiste en ceci, que certains problèmes concernant les nombres sont parfois susceptibles d'une solution et parfois insolubles : ainsi celui d'une moyenne proportionnelle entre deux nombres donnés. Cela seul suffit pour que le nombre au sens étroit du mot ne puisse pas être la clef de tout.Or cela, quand s'en est-on aperçu ? je ne sais pas s'il existe des renseignements à ce sujet. En tout cas on a pu s'en apercevoir avant toute géométrie ; il suffisait d'étudier spécialement les problèmes de proportion. Et en ce cas le procédé géométrique pour trouver des moyennes proportionnelles (hauteur du triangle rectangle) apparaissait immédiatement, aussitôt découvert, comme ne comportant aucune semblable limitation. C'est au point qu'on peut se demander si les Grecs n'ont pas étudié le triangle pour trouver des proportions exprimables autrement qu'en nombres entiers, s'ils n'ont pas par suite dès l'origine conçu la droite comme une fonction, comme ils ont fait plus tard pour la parabole. On peut trouver à cette thèse des objections, mais qui tombent à mon avis si on se rappelle le rôle du secret chez les penseurs grecs et leur coutume de ne diffuser qu'en dénaturant. Si Eudoxe est l'auteur de la théorie parfaite et achevée du nombre réel, cela n'exclut nullement que les géomètres aient entrevu cette notion dès le début et se soient constamment efforcés de la saisir.
On peut se demander pourquoi les Grecs se sont ainsi attachés à l'étude de la proportion. Il s'agit certainement d'une préoccupation religieuse, et par suite (puisqu'il s'agit de la Grèce), pour une part, esthétique. Le lien entre les préoccupations mathématiques d'une part, philosophico-religieuses de l'autre, lien dont l'existence est historiquement connue pour l'époque de Pythagore, remonte certainement beaucoup plus haut. Car Platon est traditionaliste à l'extrême, et dit souvent : « Les hommes anciens, qui étaient beaucoup plus près que nous de la lumière... » (faisant évidemment allusion à une antiquité bien plus reculée que celle de Pythagore) ; d'autre part il affichait à la porte de l'Académie : « Nul n'entre ici s'il n'est géomètre » et disait : « Dieu est un perpétuel géomètre ». Il y aurait contradiction entre les deux attitudes - ce qui est exclu -si les préoccupations d'où est issue la géométrie grecque (à défaut de cette géométrie même) ne dataient d'une haute antiquité ; on peut supposer qu'elles viennent, soit des habitants pré-helléniques de la Grèce, soit d'Égypte, soit des deux. Au reste l'orphisme (qui a cette double origine) a inspiré le pythagorisme et le platonisme (qui sont pratiquement équivalents) au point qu'on peut se demander si Pythagore et Platon ont fait beaucoup plus que le commenter. Thalès a presque sûrement été initié à des mystères grecs et égyptiens, et par suite baignait, au point de vue philosophique et religieux, dans une atmosphère analogue à celle du pythagorisme.
Je pense donc que la notion de proportion était depuis une antiquité assez reculée l'objet d'une méditation qui constituait un des procédés de purification de l'âme, peut-être le procédé principal. Il est hors de doute que cette notion était au centre de l'esthétique, de la géométrie, de la philosophie des Grecs. Ce qui fait l'originalité des Grecs en matière mathématique, ce n'est pas, je crois, leur refus d'admettre l'approximation. Il n'y a pas d'approximation dans les problèmes babyloniens ; et pour une raison bien simple : c'est qu'ils sont construits à partir des solutions. Ainsi on a des dizaines (ou des centaines, je ne sais plus) de problèmes du 4e degré à 2 inconnues qui ont tous la même solution. Cela montre que les Babyloniens ne s'intéressaient qu'à la méthode, et non à résoudre des problèmes réellement posés. De même, pour le problème du canal que je t'ai cité, la somme des ouvriers et des jours de travail n'est évidemment jamais donnée. Ils s'amusaient à supposer inconnu ce qui est donné, et connu ce qui ne l'est pas. C'est un jeu, évidemment, qui fait le plus grand honneur à leur sens de ]a « recherche désintéressée » (avaient-ils, pour les stimuler, des bourses et des médailles ?). Mais ce n'est qu'un jeu.
Ce jeu devait sembler profane aux Grecs, ou même impie ; sans quoi pourquoi n'auraient-ils pas traduit les traités d'algèbre qui devaient exister en babylonien, en même temps qu'ils les transposaient en géométrie ? L'ouvrage de Diophante aurait pu être écrit bien des siècles plus tôt. Mais les Grecs n'attachaient pas de prix à une méthode de raisonnement considérée en elle-même ; ils y attachaient du prix pour autant qu'elle permettait d'étudier efficacement des problèmes concrets ; non pas qu'ils fussent avides d'applications techniques, mais parce que leur objet unique était de concevoir de plus en plus clairement une identité de structure entre l'esprit humain et l'univers. La pureté d'âme était leur unique souci ; « imiter Dieu » en était le secret ; l'étude de la mathématique aidait à imiter Dieu pour autant qu'on regardait l'univers comme soumis aux lois mathématiques, ce qui faisait du géomètre un imitateur du législateur suprême. Il est clair que les jeux mathématiques des Babyloniens, où on se donnait la solution avant les données, étaient inutiles à cet effet. Il fallait des données réellement fournies par le monde ou l'action sur le monde ; il fallait donc trouver des rapports de quantités tels que les problèmes n'eussent pas besoin d'être artificiellement préparés pour « tomber juste », comme c'est le cas pour les nombres entiers.
C'est pour les Grecs que la mathématique était vraiment un art. Son objet était le même que l'objet de leur art, à savoir rendre sensible une parenté entre l'esprit humain et l'univers, faire apparaître le monde comme « la cité de tous les êtres raisonnables ». Et elle avait vraiment une matière dure, une matière qui existait, comme celle de tous les arts sans exception, au sens physique du mot ; cette matière, c'était l'espace réellement donné, imposé comme une condition de fait à toutes les actions des hommes. Leur géométrie était une science de la nature ; leur physique (je pense à la musique des pythagoriciens, et surtout à la mécanique d'Archimède et à son étude des corps flottants) était une géométrie où les hypothèses étaient présentées comme des postulats.
Je crains qu'on ne se rapproche plutôt aujourd'hui de la conception des Babyloniens, c'est-à-dire qu'on ne fasse du jeu plutôt que de l'art. je me demande combien de mathématiciens, aujourd'hui, regardent la mathématique comme un procédé en vue de purifier l'âme et d' « imiter Dieu » ? D'autre part il me semble que la matière manque. On fait beaucoup d'axiomatique, ce qui semble rapprocher des Grecs ; mais ne choisit-on pas les axiomes dans une large mesure à volonté ? Tu parles de « matière dure » ; mais cette matière n'est-elle pas essentielle ment constituée par l'ensemble des travaux mathématiques accomplis jusqu'à ce jour ? En ce cas la mathématique actuelle constituerait un écran entre l'homme et l'univers (et par suite entre l'homme et Dieu, conçu à la manière des Grecs) au lieu de les mettre en contact. Mais je la calomnie peut-être.
À propos des Grecs, as-tu entendu parler d'un certain Autran, qui vient de publier un livre sur Homère ? Il a émis une thèse sensationnelle, à savoir que les Lyciens et les Phéniciens du deuxième millénaire avant notre ère seraient des Dravidiens. Ses arguments, qui sont philologiques, ne semblent pas méprisables, autant qu'on peut juger sans connaître les langues dravidiennes et les inscriptions qu'il cite. Mais la thèse est bien séduisante -trop séduisante, même - en ce sens qu'elle donne une explication extrêmement simple des analogies entre la pensée de la Grèce et celle de l'Inde. Le climat expliquerait peut-être assez les différences. Quoi qu'il en soit, comment ne pas avoir de nostalgie pour une époque où une même pensée se retrouvait partout, chez tous les peuples, dans tous les pays, où les idées circulaient dans une étendue prodigieuse, et où on avait toute la richesse que procure la diversité ? Aujourd'hui, comme sous l'Empire romain, l'uniformité s'est abattue partout, a effacé toutes les traditions, et en même temps les idées ont presque cessé de circuler. Enfin ! Dans 1000 ans cela ira peut-être un peu mieux.

II
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15

similaire:

Note de l’éditeur Science et perception dans Descartes iconLa perception des objets quotidiens
«perception située». Tout au long de la thèse, l’individu comme l’objet sont étudiés en lien étroit avec la perception d’exemples...

Note de l’éditeur Science et perception dans Descartes iconNote de l'Éditeur
«La lutte de parti donne des forces et de la vitalité au Parti, la meilleure preuve de faiblesse d'un parti, c'est sa position diffuse...

Note de l’éditeur Science et perception dans Descartes iconNote dans ses cours, que la nature fait un grand usage de l’électricité...

Note de l’éditeur Science et perception dans Descartes iconThèse de science de l’éducation sous la direction de M. Jacques natanson...

Note de l’éditeur Science et perception dans Descartes iconNote argumentée
«moyenne» n’est pas la même pour toute les disciplines. La note de 8/20 peut être une note moyenne ! Pour des interlocuteurs étrangers,...

Note de l’éditeur Science et perception dans Descartes iconLes formes substantielles chez Malebranche et Leibniz
«devenir comme maître et possesseur de la nature» -, on parle de l’appropriation, de la tutelle jetée sur la nature qui fait le drame...

Note de l’éditeur Science et perception dans Descartes iconN° t I t r e, auteur, editeur

Note de l’éditeur Science et perception dans Descartes iconLettre à l’éditeur

Note de l’éditeur Science et perception dans Descartes iconCommunique de presse
«International Graphics», éditeur allemand, diffuse ses reproductions et sérigraphies dans le monde entier. Depuis, les expositions...

Note de l’éditeur Science et perception dans Descartes iconActivité 3 : Voies et aires visuelles, perception et plasticité cérébrales








Tous droits réservés. Copyright © 2016
contacts
b.21-bal.com