Tp n°7 agregation 2003








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date de publication17.01.2018
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TP n°7 AGREGATION 2003:

PREMIERES MODELISATIONS AVEC SCILAB


L'objectif de ce dernier T.P. d’introduction est de sensibiliser à la démarche de modélisation avec Scilab à travers deux exemples empruntés aux thèmes du programme d’agrégation. Le premier exemple, issu du thème ‘propagation d’ondes’, met en œuvre des résultats d’analyse numérique. Le second exemple, issu du thème ‘modèles mathématiques en biologie’ utilise le vocabulaire et des notions de probabilités.

EXERCICE 1: Afin de déterminer la hauteur du son produit par une timbale, on est amené à rechercher la première racine >0 de J1 où J1 est la solution sur R+ de l’équation de Bessel d’ordre 1 (variable : r, fonction: J1) :

J1’’+1/r J1’+(1- 1/r2) Jm=0

avec les conditions initiales :

J1 (0)=0 et J1’(0)=1
En utilisant l’instruction ode de Scilab, représenter J1 sur [0,10] et déterminer sa première racine 01. Sachant que la fréquence fondamentale de vibration donnant la hauteur du son est donnée par :

 f=(1/2) r1c/a

avec :

c : (Tension/densité surfacique)^0.5

a : le rayon de la timbale
déterminer la hauteur du son (en Hz) produit par une timbale de diamètre 66 cm, de poids 212g et de tension T= 5360 N/m.

EXERCICE 2 : on considère l’évolution d’une espèce où chaque individu donne naissance au cours de sa vie à k descendants avec une probabilité de type géométrique :
P(naissance de k descendants)=(1-q)qk
où q est un réel fixé entre 0 et 1.
a) On suppose q=0.25 (respectivement q=0.75). Vérifier expérimentalement que l’espèce s’éteint (respectivement prolifère à l’infini).

b) On suppose q=0.5. Vérifier expérimentalement (en comparant les fonctions de répartition respectives) que le nombre d’individus à la génération n rapporté à un ancêtre converge vers la variable aléatoire M suivante :
P(M=0)= et P(M>x)=(1-)exp(-(1-)x) si x>0
et donner une valeur approchée de 

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