Notes pour une présentation sur l’infini et autres curiosités mathématiques








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Camp de l’AMQ


Carrefour des sciences

Rimouski, juin 2007



Notes pour une présentation sur l’infini et autres curiosités mathématiques
Philippe Etchecopar, Cégep de Rimouski

1 L’infini

Continu ou discontinu?


Pythagore : temps et espace constitué d’éléments indivisibles, l’atomisme

Anaxagore : temps et espace continu, divisible à l’infini

Réponse actuelle ?

Zénon


Impossibilité du mouvement si le temps et l’espace sont continus : on ne peut parcourir une infinité de points en un temps fini

Achille : si le temps est continu (divisible à l’infini), Achille ne rattrapera pas la tortue, le mouvement est impossible



Si le temps est divisible à l’infini, la flèche ne pourra atteindre sa cible, le mouvement est impossible




Si le temps est discontinu, la flèche ne peut voler, le mouvement est impossible



Impossibilité de l’étude du mouvement

Mathématiques statique (géométrie) et société immobile


L’infini potentiel ou l’infini actuel?


L’infini potentiel, un processus sans fin

L’infini actuel, un « objet » en soi

Un débat infini….

Les paradoxes de l’infini


Le cercle



Les entiers et les nombres pairs



Les entiers et les carrés



Un des paradoxes de Russel

Si quelqu’un met deux ans pour écrire 2 jours de sa biographie, s’il a l’éternité, il écrira sa vie…

L’Église et l’infini


Le problème de Dieu et l’infini

Le calcul différentiel au XVII


Une société et des mathématiques en mouvement

Les infiniment petits

Les séries ou le calcul de l’infini


La série géométrique



Euler



1=0,999 ?

x=0,999

10x=9,999

10x-x=9,999-0,999

10x-x=9

9x=9

x=1=0,9999

Cantor




Le tout et ses parties

Différents infinis

Deux infinis sont de même niveau s’il existe une bijection entre eux

Comme il peut y avoir bijection entre un ensemble et un autre qu’il contient, par exemple N et les entiers pairs, une caractéristique de l’infini c’est qu’une partie peut être aussi « grande » que le tout.

Des infinis égaux, une bijection…

Identité entre l’infini des entiers et celui des rationnels

La liste des entiers, la liste des rationnels (par diagonale)



N



1


2


3






1











2











3










.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






Des infinis inégaux, pas de liste

Définition des réels, les irrationnels
Il a prouvé qu’il était impossible d’établir une règle permettant de « lister » les nombres réels de l’intervalle . Il a supposé qu’une telle liste existait et qu’elle débutait par les nombres ci-dessous :


Cette liste est infinie, mais supposons qu’elle renferme tous les nombres réels de l’intervalle . Il faut maintenant prouver que c’est impossible. Pour le prouver, il suffit de trouver un seul nombre qui ne puisse pas être sur cette liste, Soit X ce nombre et voici comment Cantor l’a composé :

- Comme première décimale de X, prenons n’importe quel nombre sauf la première décimale du premier nombre ;

- Comme seconde décimale de X, prenons n’importe quel nombre sauf la seconde décimale du second nombre ;

- Comme troisième décimale de X, prenons n’importe quel nombre sauf la troisième décimale du troisième nombre ;

Et ainsi de suite.

Comme X est réel (aucune période dans son développement décimal) et qu’il est différent de chacun des éléments de cette liste, alors X ne peut appartenir à celle-ci. Ce qui prouve que cette liste n’existe pas.

Nous nous sommes limités à l’intervalle et le résultat se généralise à l’ensemble R des nombres réels.

Conclusion :

L’infini des réels est infiniment plus grand que celui de N et Q

Il y a autant…..
« je le vois mais je ne le crois pas! »

Les nombres

Les nombres et l’infini, prise 0

Tous les livres dans les décimales d’un réel

Les nombres et l’infini, prise 1

L’infini vertigineux en math
10100 est un « gogol », 1 suivi de 100 zéros. L’âge de l’univers, en s, est de 5*1017 tandis que le nombre de particules de l’Univers est de 1080
Poursuivons l’exponentielle : soit 1 suivi d’un gogol de zéros s’écrit aussi c’est un gogolplex
Continuons : , 1 suivi d’un gogolplex de 0
Continuons toujours , nous passons de trois flèches à 100 flèches…
On peut maintenant jouer sur le nombre de flèches est :
L’imagination ne suit plus sur la grandeur, mais le processus est clair et simple
Un nombre défini par 1 suivi d’un gogolplex des chiffres est « immense », mais il est infiniment petit comparé à un nombre comme  qui a une infinité de décimales,
Les nombres et l’infini, prise 2

Les ordres de grandeur, selon les disciplines

Les grains de blé d’un échiquier 2+22+…+ 264

Économie : la somme des PIB 1014 en euros, 1020 en livres turques

En biologie 1014 cellules dans un être humain, 1036 bit d’information

En physique, 1080 particules, en mécanique quantique, 10120 bits d’information

Les nombres et l’infiniment petit, prise 3

Reprendre avec des puissances négatives…

En physique 10-35 comme longueur et 10-43 comme temps (Planck)

Les nombres et l’infini, prise 4

N, entier, les grecs

Q, les rationnels, les proportions

I, les irrationnels, la crise

Par l’absurde est rationnel, donc a et b étant entiers irréductibles,donc , soit , a2 est pair donc a est pair et a=2k, soit , donc et b serait aussi pair. Contradiction

Z les relatifs, la crise

C les complexes, la crise


Cardinal

Si A a deux éléments, P(A) a 22

Si A a n éléments, P(A) a 2n éléments
Les transfinis

Les nombres transfinis sont des « nombres » qui représentent le nombre d’éléments de divers ensembles infinis.

Ainsi le premier transfini est 0 qui représente le nombre d’élément de N, les entiers.

Le second transfini, , représente le nombre d’éléments de l’infini suivant, R.


Entier, fraction

Aleph 0



Puissance du dénombrable

Lignes, surfaces, cubes

Aleph 1



Réels et points géométriques

Puissance du continu

Courbes

Aleph 2



L’ensemble des courbes géométriques

?

Aleph 3



??


Godel et l’hypothèse du continu

Problème de Cantor : Entre , qui représente l’infini des rationnels (discret) et qui représente l’infini des réels (continus), existe-t-il un autre ?

Réponse de Godel puis de Cohen: indécidable

Définition des maths

Les réalistes (Platon)

Les formalistes (Hilbert)

Les constructivistes (Brouwer)

Récurrence Prouver à l’infini

Pour montrer qu’une propriété associée à N est toujours vraie, il faut :

Montrer qu’elle est vraie une fois

On a alors le droit de supposer qu’elle est vraie une fois quelconque

Il faudra alors démontrer qu’elle sera vraie la fois suivante!

On aura alors démontré la propriété à l’infini : si une fois qu’elle est vraie, elle sera vraie la fois suivante, cela roulera à l’infini!

Le petit Gauss

Additionner les 1000 premiers entiers



500500

Par récurrence



Fibonacci


Les lapins





1 ,1, 2, 3,5 ,8, 13, 21,

Fibonacci et les plantes
21 et 34 spirales


Pour les ananas 8 dans le sens des aiguilles d’une montre, 13 dans l’autre

Pour une pomme de pin 13 dans le sens des aiguilles d’une montre, 21 dans l’autre

Pour la fleur de tournesol 34 ou 55 dans le sens des aiguilles d’une montre, 55 ou 89 dans l’autre

L’explication des biologistes






De Fibonacci au nombre d’or

Rapport des termes consécutifs :



Terme général



Comme est plus petit que 1, tend vers 0 lorsque N tend vers l’infini.

Donc quand N tend vers l’infini, tend vers étant le nombre d’or




Le rapport de deux termes consécutifs tend donc vers le nombre d’or

Phi, le nombre d’or


PHI pour Phidias (Parthénon), définition par Euclide

Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison comme quand elle est toute entière relativement au plus grand segment ainsi est le plus grand relativement au plus petit

a=AC, b=CB







Si alors



Soit



Donc



Luca Pacioli

Le nombre d’or est la racine positive, soit





Xavier Gourdon et Pascal Sebah 3,141 milliards de décimales
Fraction continue

, donc :



Puis



Si on prend 1







Rectangle d’or
Rectangle dont les cotés sont dans la « divine proportion »



Construction du rectangle d’or

l=1



Donc

On a ainsi



donc

On remarque que le petit rectangle est lui aussi un rectangle d’or

Spirale

On reprend les deux rectangles précédents, puis dans le petit rectangle on reprend un second petit rectangle d’or et ainsi de suite. La spirale se construit ainsi :



De l’esthétique au racisme

Au XIX Adolf Zeising








Le mythe du nombre d’or

Matyla Ghyka

D’autres nombres : Pi (cercle), (carrés), e (limite, exponentielle), etc

Coïncidences Approximations

Sentiment de détenir un secret

Test sur la beauté des rectangles, 1,83
Voir Les inattendus mathématiques de Jean Paul Delahaye

Site d’André Ross



Le nombre Pi



Omni présence du cercle
Papyrus du Rhind (Égypte), Chine


Le double de l’unique racine avec
La quadrature du cercle, un problème fameux!

Il s’agit de savoir si on peut construire un carré dont la surface équivaut à celle d’un cercle de rayon R? Pour y arriver, il faut calculer ?

À partir du XVII le nombre  est surtout défini par l’analyse

Newton 16 décimales, Euler 20 en 1 heure
Yasumasa Kanada 1,241,1 milliards super Hitachi en 400h mais algorithme 5 ans

Irrationnel : démontré en 1761 par Lambert, les nombres de la suites décimale ne peuvent être prévus

Transcendant : il n’est pas solution d’une équation à coefficients rationnels, démontré en 1881 par Lindemann. La quadrature n’est donc pas possible!


Formules

Viète

Wallis

Leibniz

Euler

La formule synthèse :


Probabilités

aiguille Buffon

Il s'agit d'un problème de probabilités géométriques posé (et résolu) par Buffon. Sur un parquet composé de planches parallèles, toutes de même largeur, on jette des aiguilles au hasard, et on cherche la probabilité pour qu'une aiguille tombe à cheval sur deux planches. Soit c la largeur des planches, et d la longueur de l'aiguille. Pour simplifier, on suppose que . On note r la distance entre le centre de l'aiguille et la jointure de deux planches la plus proche, et l'angle de l'aiguille avec la jointure. Il est alors facile de vérifier que l'aiguille intersecte une jointure si et seulement si



Si on suppose, ce qui paraît raisonnable, que les jets sont faits de sorte que les lois de r et sont uniformes sur respectivement et , la probabilité de tomber sur une rainure du parquet est donc de



En français

Que j'aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages !

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5

Immortel Archimède, artiste ingénieur,

8 9 7 9

Qui de ton jugement peut priser la valeur ?

3 2 3 8 4 6 2 6

Pour moi, ton problème eut de pareils avantages.

4 3 3 8 3 2 7 9

Jadis, mystérieux, un problème bloquait

5 0 2 8 8

Tout l'admirable procédé, l'œuvre grandiose

4 1 9 7 1 6 9

Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.

3 9 9 3 7 5

0 quadrature ! Vieux tourment du philosophe

1 0 5 8 2 9

Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez

9 7 4 9 4 4

Défié Pythagore et ses imitateurs.

5 9 2 3 0

Comment intégrer l'espace plan circulaire ?

7 8 1 6 4 0

Former un triangle auquel il équivaudra ?

6 2 8 6 2 0

Nouvelle invention : Archimède inscrira

8 9 9 8

Dedans un hexagone ; appréciera son aire

6 2 8 0 3 4

Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra :

8 2 5 3 4 2 1 1 7

Dédoublera chaque élément antérieur ;

0 6 7 9

Toujours de l'orbe calculée approchera ;

8 2 1 4 8 0

Définira limite ; enfin, l'arc, le limiteur

8 6 5 1 3 2 8

De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle

2 3 0 6 6 4 7

Professeur, enseignez son problème avec zèle

0 9 3 8 4 4


Une variante de ce poème (sur le début)
Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !
Glorieux Archimède, artiste, ingénieur,
Toi de qui Syracuse aime encore la gloire,
Soit ton nom conservé par de savants grimoires !
Le reste est identique au précédent

Un autre plus court
Car j'aime à faire apprécier ce nombre, objet des soins patients, longtemps répétés, engendrés par ce dur problème grec : "carrer" le cercle. Même son nom habituel est un symbole (périmètre) utile.

Vie et œuvre d’Évariste Galois







Les géométries

Géométries


1. Conduire une droite d'un point quelconque à un point quelconque.

2. Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie.

3. D'un point quelconque et avec un intervalle quelconque, décrire une circonférence d'un cercle.

4. Tous les angles droits sont égaux entre eux.

5. Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.

6. Deux droites ne renferment point un espace.





Euclide

Lobatchevski

Riemann




Deux droites distinctes se rencontrent en

au plus un

au plus un

un

(simplement elliptique)

deux

(doublement elliptique)

point
points

Étant donné une droite D et un point P n'appartenant pas à D, il existe

une droite et une seule

Au moins deux droites

aucune droite

passant pas P et parallèle à D

Une droite

est

est

n'est pas

séparée en deux par un point

Des droites parallèles

sont équidistantes

ne sont jamais équidistantes

n'existent pas





Si une droite rencontre l'une des deux droites parallèles, elle

doit

peut ou ne peut pas




rencontrer l'autre

L'hypothèse de Saccheri valable est

l'angle droit

l'angle aigu

l'angle obtus




Deux droites distinctes perpendi­culaires à une même droite

sont parallèles

sont parallèles

se rencontrent




La somme des angles d'un triangle est

égal à

strictement inférieure à

strictement supérieure à

180 degrés

L'aire d'un triangle est

indépendante

proportionnelle au défaut

proportionnelle à l'excès

de la somme de ses angles

Deux triangles avec des angles corres­pondants égaux sont

semblables

congrus

congrus






Géométrie

Euclide

Lobatchevski

Riemann

Somme des angles d’un triangle


180o


Plus petit que 180o


Plus grand que 180o


Deux droites distinctes se rencontrent en :


0 ou 1 point


0 ou 1 point


1 point

Nombre de parallèles à D passant par M extérieur à D


1


Plus que 1


0

Deux perpendiculaires à une même droite


Sont parallèles


Sont parallèles


Se coupent




Fractales




où la fractale de départ est formée de n exemplaires dont la taille a été réduite d'un facteur h (pour homothétie) et ln représente le logarithme néperien.

Par exemple, un côté du flocon de Koch est formé de n = 4 exemplaires de lui-même réduit d'un facteur h = 3. Sa dimension fractale vaut Le triangle de Sierpinski est formé de n = 3 exemplaires de lui-même réduit d'un facteur h = 2 . Sa dimension fractale vaut Le tapis de Sierpinski est formé de n = 8 exemplaires de lui-même réduit d'un facteur h = 3. Sa dimension fractale vaut

La poussière de Cantor



Le flocon de neige
















Chaos

Chaos


Le modèle exponentiel de croissance des populations suppose que chaque génération est proportionnelle à la précédente. D'une période à la suivante, l'évolution de la population se traduit par la relation de type exponentiel :

xt représente la population à la période t, xt+1 la population à la période t+1 et k le taux de reproduction.
L'effectif de la population de la période t+1 sera la valeur xt+1, exprimée en pourcentage

de la population maximale que peut accueillir le territoire donné, et sera obtenu de l'effectif de la population xt de la période précédente t par l'équation :

Le facteur représente l'effet rétroactif.



Documentation


Delahaye

La Recherche

Pour la Science

Internet

…..


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