On note m = max{Xi; 1  I  5}








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a) = (n – 1) 2n + 1 ; b) = (n2 – 3n + 4) 2n-1 – 2.


4°) En déduire que l’on a : = (n2 – 2n + 3) 2n+1 – 6.

5°) Préciser les expressions de et de : .
Deuxième partie. Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On met dans une urne U :

2 boules numérotées 0

21 boules numérotées 1

22 boules numérotées 2

2 3 boules numérotées 3

.......................................

2n boules numérotées n

1°) On extrait une boule de l'urne, toutes les boules ayant la même probabilité d'être tirées, et l'on note X1 la variable aléatoire réelle prenant pour valeur le numéro de la boule tirée.

a) Déterminer la loi de probabilité de X1.

b) Calculer l'espérance mathématique de X1.

c) Quelle est l'espérance mathématique de (X1)2 ?

d) En déduire la variance de X1.

2°) On définit maintenant une variable aléatoire réelle X2 de la façon suivante :

si X1 = 0 on convient de poserX2 = 0 ;

si X1 = i, avec 1  i  n, on enlève de l'urne toutes les boules de numéro supérieur ou égal à i. On effectue alors un tirage d'une boule dans l'urne, toutes les boules y restant ayant même probabilité d'être tirées, et X2 prend alors pour valeur le numéro de la boule tirée.

a) Déterminer la loi conjointe du couple (X1, X2).

b) En déduire la loi de probabilité de X2.

c) Vérifier que = 1.

d) Calculer l'espérance mathématique de X2.
ecricome 98 et ecricome 2000 : voir chapitre VIII
ecricome 2002 Une urne contient une boule blanche et une boule noire, les boules étant indiscernables au toucher. On y prélève une boule, chaque boule ayant la même probabilité d'être tirée, on note sa couleur, et on la remet dans l'urne avec c boules de la couleur de la boule tirée. On répète cette épreuve, on réalise ainsi une succession de n tirages (n  2).

1. Etude du cas c = 0.

On effectue donc ici n tirages successifs avec remise de la boule dans l'urne.

On note X la variables aléatoire réelle égale au nombre de boules blanches obtenues au cours des n tirages et Y la variable aléatoire réelle définie par :

Y = k si l'on obtient une boule blanche pour la première fois au kème tirage.

Y = 0 si les n boules tirées sont noires.

1. Déterminer la loi de X. Donner la valeur de E(X) et de V(X).

2. Pour k  {1,  , n}, déterminer la probabilité P(Y = k) de l'événement (Y = k), puis déterminer P(Y = 0).

3. Vérifier que : .

4. Pour x  1 et n entier non nul, montrer que

5. En déduire E(Y).
2. Etude du cas c 0.

On considère les variables aléatoires (Xi)1 i n définies par :

Xi = 1 si on obtient une boule blanche au ième tirage.

Xi = 0 sinon.

On définit alors, pour 2  p  n, la variable aléatoire Zp par : .

1. Que représente la variable Zp ?
2. Donner la loi de X1 et l'espérance E(X1) de X1.

3. Déterminer la loi du couple (X1, X2). En déduire la loi de X2 puis l'espérance E(X2).

4. Déterminer la loi de probabilité de Z2.

5. Déterminer l'univers image Zp() de Zp.

6. Soit p  n  1.

a. Déterminer P(Xp+1 = 1 / Zp = k) pour k  Zp().

b. En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que : .

c. En déduire que Xp est une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre 1/2. (On raisonnera par récurrence sur p : les variables X1, X2, .... Xp étant supposées suivre une loi de Bernoulli de paramètre 1/2, et on calculera E( Zp) .)

ecricome 2003, extrait ; voir chap VII et VIII. Une entreprise de construction produit des objets sur deux chaînes de montage A et B qui fonctionnent indépendamment l’une de l’autre. Pour une chaîne donnée, les fabrications des pièces sont indépendantes.

On suppose que A produit 60% des objets et B produits 40% des objets. La probabilité qu’un objet construit par A soit défectueux est 0.1 alors que la probabilité qu’un objet construit par B soit défectueux est 0.2.

  1. On choisit au hasard un objet à la sortie de l’entreprise. On constate que cet objet est défectueux. Calculer la probabilité de l’événement ‘’l’objet provient de la chaîne A ’’.

  2. On suppose de plus que le nombre d’objets produits en une heure par la chaîne A est une variable aléatoire Y qui suit une loi de Poisson de paramètre  =20.

On considère la variable aléatoire X représentant le nombre d’objets défectueux produits par la chaîne A en une heure.

    1. Rappeler la loi de Y ainsi que la valeur de l’espérance et de la variance de Y.

    2. Soient k et n deux entiers naturels, déterminer la probabilité conditionnelle p(X=k/Y=n). (On distinguera les cas k  n et k>n).

    3. En déduire en utilisant le système complet d’événements (Y= i)iN que X suit une loi de Poisson de paramètre 2.



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