On note m = max{Xi; 1  I  5}








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Chapitre III

variables aléatoires discrètes.



  1. 1°) Un dé cubique D1 comporte 3 faces marquées 1, 2 faces marquées 2, 1 face marquée 3. On lance le dé D1, on note X1 le nombre obtenu, Déterminer la loi de X1 son espérance, sa variance.

2°) Mêmes questions pour X2 le nombre obtenu en lançant un dé D2 comportant 3 faces marquées 4, 2 faces marquées 5, 1 face marquée 6.

3°) On lance D1 et D2 simultanément, Calculer l'espérance de Z = X1+ X2. Vérifier en déterminant la loi de Z.


  1. On choisit une carte au hasard dans , jeu de 52 cartes. On définit la valeur X de la carte ainsi tirée comme suit :

X() = 4 si  est un as ;

X() = 3 si  est un roi ;

X() = 2 si  est une dame ;

X() = 1 si  est un valet ;

X() = 0 dans les autres cas.

Loi de probabilité de X, Valeur moyenne d'une carte. Ecart-type de X. Valeur moyenne d'une main de 13 cartes.


  1. Jeu "chuck a luck" (Etats-Unis), "crown and anchor" (Angleterre). On parie sur un nombre de 1 à 6. On lance 3 dés. Si le nombre sur lequel on a parié sort :

3 fois, on gagne 3 F ;

2 2 F ;

1 1 F ;

0 fois, on perd 1 F.

Soit X le gain lors d'une partie, déterminer la loi de X, son espérance et sa variance.


  1. Un vendeur de journaux a, chaque semaine, entre 0 et 5 clients pour une revue hebdomadaire.

Soit E = {A0,A1,A2,A3,A4,A5} où An désigne l'événement : il y a au n clients pour la revue,

0 < n < 5. (E, P(E)) est muni de la probabilité P définie par :

P(A0) = P(A5) = 1/32

P(A1) = P(A4) = 5/32

P(A2) = P(A3) = 10/32

Le vendeur gagne 3 F par exemplaire vendu et perd 1 F en frais divers par exemplaire invendu. Dans le cas où il a commandé p exemplaires on définit sur E la variable aléatoire Gp par :

Gp (An) = gain du vendeur lorsque n clients se sont présentés dans la semaine (0  n  5).

1°) Calculer Gp(An) pour tout p dans [[1, 5]] et tout n dans [[0,5]]. Disposer les résultats sous forme de tableau.

2°) Calculer E(Gi) pour tout i dans [[1,5]]. Que feriez-vous à la place du vendeur ?


  1. k urnes numérotées de 1 à k contiennent chacune n boules identiques numérotées de 1 à n. On extrait une boule de chaque urne, on note Xi le numéro de la boule tirée de l'urne n°i.

On note M = max{Xi ; 1  i  5}.

Déterminer la fonction de répartition Fm de la variable aléatoire M. (On fera les hypothèses d'indépendance nécessaires).

En déduire la loi de M. Calculer E(M) pour k = 2 ; k = 3.


Lois finies.


  1. Un service après-vente dispose d'équipes de dépannage qui interviennent auprès de la clientèle sur appel téléphonique. Les appels se produisent de façon indépendante, et la probabilité qu'un retard se produise dans le dépannage à la suite d'un appel est p = 0,25.

1°) Un même client a appelé le service à 8 dates différentes. Soit X le nombre de retards que ce client a subi.

a) Définir la loi de probabilité de X. Calculer E(X) et V(X).

b) Calculer (à 0,01 près au plus proche) les probabilités des événements :

--le client a subi au moins un retard ;

--le client a subi moins de 4 retards ;

--le client a subi moins de 4 retards sachant qu'il en a subi au moins un.

2°) On considère un ensemble de 8 clients différents. 2 d'entre eux sont mécontents parce qu'ils ont subi un retard. On contacte 4 clients parmi les 8. Soit M le nombre de clients mécontents parmi les 4 contactés. Définir la loi de M. La donner explicitement. Calculer E(M).


  1. Un jeu de 32 cartes est truqué : on a remplacé une carte autre que l'as de pique par un deuxième as de pique. On tire au hasard une main de n cartes, n < 32.

a) Quelle est la probabilité de déceler la supercherie ?

b) On suppose n = 4 et on renouvelle l'expérience consistant à tirer 4 cartes du jeu (en remettant les 4 cartes tirées à chaque fois). Quel est le nombre minimum d'expériences à réaliser pour que la upercherie soit découverte avec une probabilité au moins égale à 0,95 ?


  1. A et B sont deux avions avec respectivement 2 moteurs et 4 moteurs. Chaque moteur a la probabilité p de tomber en panne. Les pannes surviennent de façon indépendante. Chaque avion arrive à destination ssi moins de la moitié de ses moteurs tombe en panne.

Quel avion choisissez-vous ?


  1. 2 joueurs lancent une pièce de monnaie parfaitement équilibrée, n fois chacun. On note X, Y le nombre de 'pi1e' obtenus respectivement par A, B.

1°) Pour tout k dans [[0, n]], calculer la probabilité de l'événement : (X= k) et (Y= k).

2°) En déduire la probabilité que A et B obtiennent le même nombre de fois "pile'.


  1. Soit X une v.a suivant la loi binomiale de paramètres n et p. On définit la v.a. Y par :

Y = X si X 0 ;

Y prend une valeur au hasard dans [[1, n]] si X = 0.

Déterminer la loi de Y et calculer E(Y).


  1. (Ecricome 89) Deux personnes A et B partent en vacances de façon indépendante dans un pays E.

Leur séjour dans ce pays peut s'étaler sur n journées (n > 3) numérotées 1, 2, . . . , n.

Pour éventuellement s'y rencontrer, elles ont projeté d'y séjourner trois jours consécutifs (et trois jours seulement) dans un hôtel H, choisi par elles.

On suppose que les jours d'arrivée possibles 1,2, . . . , n-2 de ces deux personnes dans cet hôtel sont deux variables aléatoires uniformes et indépendantes.

Les arrivées ont lieu le matin et les départs le soir deux jours plus tard.

1°) a) Quelle est la probabilité que A et B arrivent le même jour ?

b) Quelle est la probabilité qu'elles arrivent avec un jour d'écart ?

c) Quelle est la probabilité qu'elles puissent se rencontrer dans l'hôtel ?

2°) Sachant que A et B se sont rencontrées, quelle est la probabilité qu'elles ne puissent passer qu'une journée ensemble ?


  1. (inseec 91 ) 1°) Une urne contient 2 boules noires et 8 boules blanches. Un joueur tire successivement 5 boules en remettant la boule dans l'urne après chaque tirage. Si il tire une boule blanche il gagne 2 points dans le cas contraire il perd trois points. Soit X le nombre de points obtenus par le joueur en une partie.

a) Dresser le tableau définissant la loi de X.

b) Calculer E(X) et V(X).

2°). Le joueur tire 5 boules simultanément, les 10 boules de l'urne étant numérotées de 1 à 10.

a) Soit Y le plus grand des numéros tirés. Déterminer la loi de probabilité de Y et calculer E(Y).

b) Soit T le nombre de boules blanches obtenues. Après ce premier tirage le joueur remet les boules noires obtenues et effectue un nouveau tirage simultané de 5 boules. On appelle Z le nombre de boules blanches obtenues lors de ce second tirage. Déterminer les lois de T et de Z. Calculer E(T).


  1. (iscid 91) On considère une urne de taille N (N>1) contenant r boules blanches et N - r boules noires

(0< r < N). Dans cette urne on prélève toutes les boules une à une et SANS remise. On note X le rang d'apparition de la dernière boule blanche. Le but du problème est de déterminer :

--la loi de X ;

--l'espérance et la variance de X.

1. a) Traiter le cas N = 4, r = 1.

b) Traiter le cas N =4, r = 2.

2. Dans le cas r = 1, reconnaître la loi de X et rappeler son espérance et sa variance.

3. Etude du cas général (1 < r < N) :

a) Déterminer l'ensemble des valeurs prises par X.

b) Soit k l'une de ces valeurs. Déterminer la probabilité pour qu'au cours des k-1 premiers tirages soient apparues r-1 boules blanches (et donc k - r boules noires). En déduire la valeur de P(X = k) c'est-à-dire la probabilité que la r-ième (et dernière) boule blanche apparaisse au k-ième tirage.

c) Vérifier, après simplifications, que P(X = k) = . En déduire les valeurs des sommes , puis .

d) On rappelle que n = p. En déduire que E(X) = .

(Remarque : l'énoncé proposait aussi le calcul de , puis de E(X(X+l)), et enfin de V(X)...)


  1. (escp 94 0e) On dispose d'un jeu de m cartes, m étant un entier supérieur ou égal à 2. Ces cartes sont numérotées de 1 à m.

Un joueur A propose à un joueur B Je jeu suivant, moyennant une mise de 1 franc que B lui verse à chaque partie.

B tire une carte au hasard, montre le nombre b qu'elle porte et remet la carte dans le paquet. Puis A tire une carte au hasard ; quand celle-ci porte le nombre a :

Si a < b, alors B donne à A la somme de b - a francs ; B a donc gagné (b - a - 1) francs)

Si a > b, alors B donne à A la somme de 1 franc et B a donc perdu 2 francs.

Si a = b, alors B a simplement perdu 1 franc, le montant de sa mise.

1°) On suppose dans cette question que m = 6.

a) Dresser le tableau à double entrée donnant les gains (positifs ou négatifs) de B suivant les différentes valeurs du couple (a, b).

b) Soit X la variable aléatoire représentant les gains de B. Donner la loi de probabilité de X.

c) Calculer l'espérance de X. Le jeu est-il équilibré ou avantage-t-il un des joueurs ?

d) Calculer la variance de X.

2°) On revient au cas général : m  2.

  1. Etablir, en préliminaire, les formules suivantes, pour tout entier N  2 :

; .

b) Calculer, en fonction de m, l'espérance E(X) de la variable aléatoire X.

c) Pour quelles valeurs de m l'espérance de X est-elle positive ?

d) Calculer, en fonction de m, la variance de X.

3°) On observe m parties successives et on note Yn(m) le nombre de parties où le gain de B est strictement positif. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire Yn(m), son espérance et sa variance en fonction de n et de m.


  1. (esco 94 ot) Deux urnes U1 et U2 contiennent chacune des boules blanches et des boules noires. U1 contient 2 boules blanches et 2 boules noires, U2 contient 1 boule blanche et 3 boules noires. On effectue une suite de tirages avec remise de la boule tirée en procédant comme suit :

Le premier tirage s'effectue dans U1. Si au n-ième tirage on obtient une boule blanche alors le (n+1)-ième tirage s'effectue dans U1. Si au n-ième tirage on obtient une boule noire alors le (n+1)-ième tirage s'effectue dans U2.

On désigne par :

pn la probabilité d'obtenir une boule blanche au n-ième tirage ;

Xn la variable aléatoire qui vaut 1 Si la boule obtenue au n-ième tirage est blanche, 0 sinon.

Sn est le nombre total de boules blanches obtenues au bout de n tirages.

1°) Calculer p1, p2.

2°) Déterminer une relation entre pn+1 et pn ; en déduire l'expression de pn en fonction de n, et la limite de pn quand n tend vers +.

3°) Pour n supérieur ou égal à 1, donner la loi de Xn. Préciser E(Xn) et V(Xn).

4°) Les variables aléatoires X1 et X2 sont-elles indépendantes ?

5°) Exprimer Sn, en fonction des Xk, 1  k  n ; En déduire E(Sn).


  1. (inseec 2002) Une roue de loterie se compose de secteurs identiques, numérotés de 1 à 12. Une personne fait tourner la roue devant un repère fixe. On suppose que chaque secteur a la même probabilité de s'arrêter devant ce repère.

A chaque partie un joueur mise une certaine somme d'argent en choisissant un, deux ou trois numéros sur les 12, il est gagnant si le secteur qui s'arrête devant le repère porte l'un des numéros choisis.

Un joueur, possédant un crédit illimité, effectue une suite de parties en adoptant la stratégie suivante :

* Il mise sur le chiffre 1 à la première partie.

** S'il perd à la nème partie, n  1, il mise uniquement sur les chiffres 1 et 2 à la partie suivante et s'il gagne à la nème partie, il mise sur les chiffres 1, 3 et 5.

1) On note pn la probabilité de l'événement An : " le joueur gagne la nème partie".

a) Calculer les probabilités conditionnelles :

, en déduire que n  N*, pn+1 = (1/12)pn + 1/6.

b) En déduire l'expression de pn en fonction de n et déterminer limn+ pn.

2) Soit k  [[1, n]], on note Bk l'événement "le joueur gagne une seule fois au cours des n premières parties et ce gain a lieu à la kème partie ".

a) A l'aide de la formule des probabilités composées, calculer p(Bn).

b) Soit k  [[1, n  1]], calculer P(Bk).

c) En déduire la probabilité qn pour que le joueur gagne une seule fois au cours des n premières parties.

Lois infinies discrètes


  1. On lance un dé indéfiniment ; X est le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le premier "6". Y est le nombre de lancers nécessaires après l'obtention du premier "6", pour obtenir le deuxième "6".

1°) Loi de X, de Y, espérance et variance de X et de Y.

2°) Soit Z = X + Y ; espérance et variance de Z ; loi de Z. interprétation de Z. Retrouver directement la loi de Z.


  1. On lance des fusées vers Saturne ; la probabilité de succès à chaque lancer est 0,7.

1°) Probabilité d'obtenir k succès en 10 lancers, k [[0, 10]] ? Nombre moyen de succès par série de 10 lancers ?

2°) Combien faut-il prévoir de lancers pour être sûr a 90% d'obtenir au moins un succès ? (Deux méthodes sont envisageables.)


  1. (d'après esg 92 ) La première question est indépendante des suivantes. On considère un lot de 10 dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 a 6. Sur ces 10 dés, cinq sont équilibrés, les cinq autres sont pipés. Pour un dé pipé, la probabilité d'obtenir la face n°1 quand on le lance sera prise égale à 5/6.

1°) On choisit un dé au hasard du lot, on le lance 3 fois et on obtient 3 fois la face n°1. Quelle est la probabilité de l'événement : "le dé choisi est pipé" ?

2°) On effectue des lancers successifs d'un dé équilibré et on arrête dès que l'on a obtenu pour la première fois la face n°1. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués avec ce dé.

On effectue des lancers successifs d'un dé pipé et on arrête dès que l'on a obtenu pour la première fois la face n°1. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués avec ce dé.

a) Déterminer la loi de X et calculer l'espérance mathématique et la variance de X.

b) Déterminer la loi de Y et calculer l'espérance mathématique et la variance de Y.

3°). Calculer la probabilité de l'événement (X = Y).

(X = Y) signifie (X = 1 et Y = 2) ou (X =2 et Y = 2) ou etc.

4°) Calculer la probabilité de l'événement (X < Y).

(X < Y) signifie (X = 1 et Y > 1) ou (X =2 et Y > 2) ou etc.

5°) On prend un dé pipé du lot, on effectue des lancers successifs et on arrête dès que l'on a obtenu pour la première fois une face ne portant pas le n°1. Soit Z la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués avec ce dé. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X + Z et calculer son espérance mathématique.


  1. (D'après hec math 2 91) On désigne par x un nombre réel appartenant à ]0, 1[. N et n sont des n nombres entiers naturels non nuls On considère une succession (éventuellement infinie) de jets d'une pièce. On suppose que la probabilité d'obtenir pile lors d'un jet est 1 - x et que la probabilité d'obtenir face est x. Les jets sont supposés indépendants.

On désigne enfin par Sn le nombre de fois où l'on a obtenu pile au cours des n premiers jets, par Tn le numéro du jet où l'on obtient pile pour la n-ième fois.

1°) Préciser la loi de Sn. Donner l'espérance et la variance de cette variable aléatoire.

2°) Préciser la loi de T1. CALCULER l'espérance et la variance de cette variable aléatoire. Pour la variance, on commencera par calculer E(T1.(T1 - 1)).

3°) L'objet de cette question est de calculer l'espérance de Tr. Soit k un nombre entier naturel et r un nombre entier naturel non nul.

a) Montrer que l'événement {Tr = k + r} est réalisé si et seulement si les événements :

{Sk+r-1 = r – 1} et "pile est obtenu au (k+r)-ième jet" le sont. En déduire la loi de Tr.

b) Vérifier que la somme des probabilités des événements {Tr = k + r}, où k appartient à N, est égale à 1. Calculer l'espérance de Tr. On admettra que la série de terme général , k appartenant à N, est convergente, de somme , et on rappelle que , pour tout N, p appartenant à N*.
4°) Soit a un nombre réel strictement supérieur à 1. Un joueur parle de la façon suivante. Lors du n-ième jet, il mise 1 franc.

--Si pile sort, il reçoit la somme a (en francs), et il perd sa mise ;

--sinon, il perd sa mise.

On désigne par Gn la somme des profits et pertes (celles-ci étant comptées négativement) du joueur après son n-ième succès (qui survient donc à l'issue du jet ayant pour numéro Tn).

a) Montrer que G1 = a - T1 et calculer l'espérance de T1.

b) Plus généralement, pour tout nombre entier naturel non nul r, exprimer Gr en fonction de Tr et en déduire l'espérance de Gr

c) Etudier la limite de Gr quand r tend vers +.


  1. (D'après isg 90 ot) On admettra que pour < 1 et k dans N* :

.

Soit a un réel tel que 0 < a < 1.

1°) Soit X une variable aléatoire à valeurs entières dont la loi est donnée par :

n  N P(x = n) = (1 – a)n.a .

a) Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité.

b) Calculer l'espérance et la variance de X.

2°) Une urne contient des boules blanches et des boules noires en proportion p et q, p+q = 1.

On effectue des tirages avec remise ; le nombre de tirages suit la loi de X. Y est la variable aléatoire égale au nombre de boule blanches obtenues.

a) Calculer pour tous les entiers k et n la probabilité conditionnelle P(), ainsi que

P(Y = k X = n).

b) En déduire la loi de Y et calculer l'espérance de Y.


  1. (escp 96) Une urne contient des boules blanches, noires et rouges. Les proportions respectives de ces boules sont p pour les blanches, q pour les noires, r pour les rouges (p + q + r = 1).

On fait dans cette urne des tirages successifs et indépendants numérotés 1, 2,... etc. Ces tirages sont faits avec remise de la boule tirée. Les proportions des boules restent ainsi les mêmes au cours de l'expérience.

1°) On note X1 la v.a représentant le numéro du tirage auquel une boule blanche sort pour la première fois. Trouver la loi de probabilité de X. Calculer son espérance et sa variance.

2°) On note X2 la v.a représentant le numéro du deuxième tirage d'une boule blanche. Trouver, pour tout couple d'entiers strictement positifs (k, l) la probabilité de l'événement :

(X1 = k, X2 = k + l). En déduire la loi de probabilité de X2.

Montrer que la v.a. U2 = X2 – X1 est indépendante de X1 et qu'elle a la même loi de probabilité. En déduire l'espérance et la variance de X2.

3°) On note W la v.a représentant le nombre de boules rouges tirées avant l'obtention de la première boule blanche Pour tout couple (k, l) de N*N, déterminer la probabilité conditionnelle de l'événement (W = l) sachant que X1 = k. Quelle est la loi conditionnelle de W sachant X1 ?

4°) On note Y1 la v.a représentant le numéro du tirage auquel une boule noire sort pour la première fois.

a) Trouver la loi de probabilité du couple (X1, Y1) Les v.a X1 et Y1 sont-elles indépendantes ?

b) On se place, pour cette question, dans le cas particulier où r = 0 (c'est à dire qu'il n'y a pas de boule rouge). Calculer alors la covariance de (X1, Y1).

5°) Soit, pour n entier strictement positif, Zn la v.a. qui prend la valeur +1 si au n-ième tirage une boule blanche est tirée, -1 si au n-ième tirage une boule noire est tirée, 0 Si au n-ième tirage une boule rouge est tirée. On note Sn = Z1 + Z2 + … + Zn .

a) Trouver la loi de probabilité de S1. Calculer son espérance et sa variance ; en déduire l'espérance et la variance de Sn pour tout n  1.

b) Soit t un réel strictement positif. On pose Vn = Trouver la loi de probabilité de la v.a V1 et calculer son espérance. c) En déduire l'espérance de Vn.

  1. La distance en kilomètres qu'un enfant accepte de parcourir sur son vélo suit la loi de Poisson de moyenne 2. Une promenade autour d'un lac fait 3 km.

1°) Calculer la probabilité pour un enfant de 5 ans de faire le tour du lac en vélo.

2°) Sept enfants accompagnés de leurs parents commencent le tour du lac en vélo. Ceux qui ne le termineront pas seront privés de dessert. Soit X le nombre d'enfants privés de dessert. Déterminer la loi de X, son espérance, sa variance.


  1. Dans le département de Seine-et-Marne, le nombre par an d'accidents graves mettant en cause un camion-citerne suit la loi de Poisson de paramètre 8. Calculer la probabilité d'avoir une année plus de 7 accidents de ce type.




  1. Pour une femme ayant eu entre 18 et 20 ans en 1958, le nombre d'enfants suit une loi de Poisson. Un échantillon de 1000 individus de cette population comporte 135 femmes sans enfant. En déduire une estimation du paramètre de la loi de X. Estimer la proportion de la population étudiée ayant plus de 3 enfants.

(Les exercices 22 à 24 sont extraits de "Exercices de probabilités ordinaires", G. Frugier, ed. Ellipses)


  1. (Utilisation des tables numériques de la loi de Poisson) Une v.a. X représente le nombre annuel de pannes d'un certain type d'appareils électriques. On suppose que X suit la loi de Poisson de paramètre m (m > 0).

1°) Déterminer m sachant que la probabilité pour qu'un appareil de ce type tombe en panne moins de 4 fois dans l'année est 0,981. Calculer alors la probabilité pour qu'un appareil ait au plus 2 pannes dans l'année.

2°) On teste simultanément 10 appareils au cours d'une année ; soit Y le nombre d'appareils ayant au moins une panne dans l'année. Déterminer la loi de Y (préciser éventuellement les hypothèses nécessaires).


  1. (Somme de deux variables poissonniennes indépendantes ; lien poisson-binomiale) Le nombre X de véhicules légers empruntant un pont de faible trafic par période d'une heure suit la loi de Poisson de paramètre a..Le nombre Y de poids-lourds empruntant ce même pont par période d'une heure suit la loi de Poisson de paramètre b. On suppose que X et Y sont indépendants. Soit Z = X + Y.

1. Déterminer la densité moyenne par heure de trafic sur ce pont.

2. Déterminer la loi de Z. Retrouver le résultat du 1...

3. Sachant qu'à une heure donnée il y a eu en tout n véhicules empruntant le pont, quelle est la probabilité qu'il y ait eu k poids-lourds parmi eux ?


  1. (conditionnement de Poisson) Le nombre N de clients par tranche de 10 minutes dans un grand magasin suit la loi de Poisson de paramètre m. Chaque client a la probabilité p de se faire voler son portefeuille. Les vols ont lieu de façon mutuellement indépendante. Soit X le nombre de clients volés par tranche de 10 minutes.

Déterminer la loi de X.

Soit Y = N - X. Déterminer la loi de Y. Prouver que X et Y sont indépendantes.


  1. Le nombre N d'enfants d'une famille d'une population bien définie suit la loi de Poisson de paramètre m. Chaque enfant présente à la naissance la probabilité p d'avoir un caractère génétique bien défini, et ceci de façon indépendante. Soit X le nombre d'enfants d'une famille présentant ce caractère et Y le nombre d'entants ne le présentant pas.

1. Quelle relation existe-t-il entre N, X, Y ?

2. Pour n dans N et k dans [[0, n]], déterminer P(X=k/N=n). En déduire la loi de probabilité de X. Que remarque-t-on ?

3. Déterminer la loi de probabilité de Y.

4. Montrer que X et Y sont indépendantes.

5. Application. m = 2, p = 0,4. Déterminer la probabilité pour une famille d'avoir 3 enfants présentant le caractère génétique considéré et 2 enfants ne le présentant pas.


  1. (deug) Un ascenseur dessert les N étages d'un immeuble, N étant un entier naturel non nul. A chaque voyage, le nombre de personnes qui montent dans cet ascenseur est une variable aléatoire X suivant la loi de Poisson de paramètre  > 0. On suppose que :

- chaque personne choisit son étage d'arrivée au hasard et indépendamment des autres passagers, ces choix se faisant dans l'ordre d'entrée des passagers dans l'ascenseur ;

- aucun arrêt n'est dû à des personnes désirant monter dans l'ascenseur à un autre étage.
1°) Soit N0 un entier fixé, dans {1, 2, ... , N} et Y la variable aléatoire égale au nombre de passagers choisissant l'étage N0.

a) Soit k  N. Donner, sans calcul, la loi de probabilité de Y conditionnelle à (X = k).

b) Déterminer la loi de probabilité de Y. On observera que Y suit une loi de Poisson dont on précisera le paramètre.

c) Soit n  N. Déterminer la loi de probabilité de X conditionnelle à (Y = n).

2°) soit Z une variable aléatoire à valeurs dans {0, 1, ... , N}. Pour tout entier naturel k, l'espérance mathématique de Z conditionnelle à (X = k) est définie par :

E(Z / X = k) = .

Montrer que l'espérance mathématique de Z est donnée par :

E(Z) = .

On pourra utiliser le résultat suivant : si (ak,j)k N, j {0,1,...,N} est une suite de nombres réels tels que, pour tout j  {0, 1, ... , N}, la série est convergente, alors on a .
3°) Soit Z la variable aléatoire égale au nombre d 'arrêts de l'ascenseur.

a) Justifier les égalités suivantes :

P(Z = 0 / X = 0) =1 et, pour tout entier j = 1, ... , N : P(Z = j / X = 0) = 0 ;

P(Z = 1 / X = 1 ) = 1 et , pour tout entier j = 2, ... ,N : P(Z = j / X = 1) = 0 ;

pour tout entier k  1 : P(Z = 0 / X = k) = 0 ;

pour tout entier k  1 P(Z = 1 / X = k + 1) = P(Z = 1 / X = k) :

pour tous entiers j = 2, ... , N et k  1 :

P(Z = j / X = k + 1) = P(Z = j / X = k) + P(Z = j - 1 / X = k).

b) Pour tout entier k  0, on pose uk = E(Z / X = k).

Démontrer que, pour tout entier k  0, uk+1 = .

Après avoir justifié que u0 = 0, en déduire l'expression de uk en fonction de k.

On vérifiera que uk = .

c) En déduire que E(Z) = .

d) Donner un équivalent de E(Z) lorsque N tend vers +. Interpréter ce résultat.

Loi d’un couple, covariance.


  1. 1°)Soit X une v.a. suivant la 1oi uniforme sur X() = { -1, 0, 1 }. Soit Y = X2, déterminer la loi du couple (X, Y). En déduire la loi de Y. Calculer cov(X,Y). Que peut-on en conclure ?

2°) Mêmes questions avec X( = {-2, -1, 1, 2}.

  1. La loi conjointe du couple (X, Y) est donnée par :

X\Y

0

1

2

0

1/20

1/4

0

1

17/60

1/4

1/6

Déterminer les lois marginales. X et Y sont-elles indépendantes ? Calculer E(X), E(Y), E(XY).Conclusion ?


  1. Soit X1 et X2 deux variables indépendantes et de même loi, avec :

P(Xi = 0) = 1/6 P(Xi = 1 ) = 1/3 P(Xi = 2) = 1/2

Soit S = X1 + X2, P = X1X2.

1°) Loi du couple (S, P).

2°) Lois marginales du couple (S, P). S et P sont-elles indépendantes ?

3°) Calculer E(S), E(P), V(S), V(P), cov(S, P) et le coefficient de corrélation linéaire r(S, P). S et P sont- elles corrélées ?


  1. (eslsca 90) y est un réel différent de 0 et 1. La loi conjointe du couple (X,Y) est donnée par :

X \ Y

y

0

1

0

1/4

a

1/8

1

1/5

b

1/10

1°) Déterminer a et b de manière que X et Y soient indépendantes. Quelles seraient alors les lois conditionnelles de X pour les différentes valeurs de Y ?

2°) On suppose a = 1/5 Déterminer y tel que le coefficient de corrélation linéaire de M et Y soit égal à 0. X et Y sont-elles alors indépendantes ?


  1. n boîtes sont numérotées de 1 à n La boîte n° k contient k boules numérotées de 1 à k. On choisit au hasard une boîte, puis une boule dans cette boîte Soit X et Y les numéros de la boîte et de la boule obtenus.

1°) Loi du couple (X,Y).

2°) Calculer P(X = Y).

3°) Loi de Y, E(Y).


  1. (esg 90) Un commerçant réceptionne un lot de N. articles. Sur ces N articles, n d'entre eux sont défectueux. On suppose N-n  1 et n  1. Le commerçant contrôle les articles en les tirant au hasard un à un et sans remise

Soit X (resp. Y) la v.a. égale au rang d'apparition du premier (resp. du deuxième) article défectueux contrôlé.

1°) On suppose n = 1. Déterminer la loi de X, calculer l'espérance mathématique et la variance de X.

2°) On suppose n = 2 et N = 6.

a) Déterminer la loi de X. b) Déterminer la loi de Y.

c) Déterminer la loi conjointe de (X,Y). On présentera cette loi par un tableau à double entrée.

d) Calculer la covariance de (X,Y).

3°) Pour N et n quelconques (n  2) : a) Déterminer la loi de X. b) Déterminer la loi de Y.

4°) Pour N quelconque et n = 2, déterminer la loi du couple (X,Y).

5°) On suppose N = 9 et n = 2. Le commerçant refuse le lot dans les cas suivants:

(X < 4), ou (X  4 et Y < 7).

Calculer la probabilité que le commerçant refuse le lot.

  1. (d'après escl 92 ) Une urne contient N  2 boules vertes, 1 boule blanche et 1 boule rouge. On tire les boules de l'urne, une à une et sans remise.

1°) Soit X1 le rang d'apparition de la boule blanche, X2 le rang d'apparition de la boule rouge. Déterminer la loi de X1, la loi de X2, la loi du couple (X1, X2). Les variables X1 et X2 sont-elles indépendantes ?

2°) Soit X le rang où on obtient pour la première fois soit la boule blanche, soit la boule rouge. Soit Y le rang où on a obtenu pour la première fois les deux boules blanche et rouge. Déterminer la loi de X, la loi de Y. Calculer les espérances de X et de Y.


  1. Soit n un entier naturel strictement positif. Dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n, on tire deux boules au hasard avec remise. On définit les v.a. X et Y respectivement égales au plus petit et au plus grand numéro tiré.

1°) Déterminer la loi du couple (X,Y).

2°) En déduire la loi de X et la loi de Y.

3°) On définit les vecteurs-colonnes U = ( P(X = i) )1in et V = ( P(Y = i) )1in Trouver une matrice M telle que V = MU.


  1. (eme 93) Soient a, b, c trois réels positifs ou nuls, de somme égale à 1. Soient X et Y deux v.a.définies sur un espace probabilisé, dont la loi du couple est donnée par :

X \ Y

0

1

2

0

a/4

b/2

c

1

a/2

b/2

0

2

a/4

0

0

1°) Déterminer les lois (marginales) de X et de Y.

2°) Exemples : dresser le tableau de la loi conjointe du couple (X,Y) et des lois marginales, reconnaître la loi de Y, calculer la covariance et étudier l'indépendance des v.a. X et Y lorsque

a) X est la v.a. certaine égale à 2.

b) X suit la loi binomiale de paramètres 2 et 1/2.

3°) Calculer les réels a, b, c pour que X et Y aient la même loi. Vérifier que cette loi est binomiale et déterminer ses paramètres.

4°) On suppose dans cette question que X suit la loi binomiale de paramètres 2 et p (avec 0 < p < 1). Démontrer qu'alors Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.


  1. (large extrait de essec math 2 2001) Le but du problème est l'étude du coefficient de corrélation linéaire de deux variables aléatoires qu'on aborde d'abord de façon générale (partie I), puis dans un cas particulier (partie II).

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